Question

10．已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）的一部分圖象如圖所示，（其中A＞0，ω＞0，$|φ|＜\frac{π}{2}$）
（1）求函數f（x）的解析式并求函數的單調遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，若f（A）=1，f（B）=-1，|AB|=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據三角函數的圖象求出A，ω和φ的值即可得到結論．
（2）根據條件求出A，B的值，結合三角形的面積公式進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由圖可知：A=2，$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{6}$-（-$\frac{π}{12}$）=$\frac{π}{4}$，則T=π=$\frac{2π}{ω}$，
即ω=2，由五點對應法得2×$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，即φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
當2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，故函數的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈z．
（Ⅱ）在△ABC中，若f（A）=1，f（B）=-1，
則f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，f（B）=2sin（2B+$\frac{π}{6}$）=-1，
則sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，sin（2B+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，
即2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，2B+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$，
得A=$\frac{π}{3}$，B=$\frac{π}{2}$，
∵|AB|=2，
∴△ABC的面積為$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查三角函數解析式的求解以及三角形面積的計算，根據三角函數的圖象求出A，ω和φ的值是解決本題的關鍵．