Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²-ax，g（x）=2x²+4x+c
（1）試判斷f（x）的零點(diǎn)個數(shù)；
（2）若a=-1，當(dāng)x∈[-3，4]時，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個公共點(diǎn)，求c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先把函數(shù)變形，函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²-ax=x（

1

3

x²-ax-a），令f（x）=0得x=0（此為函數(shù)的一個零點(diǎn)）與（

1

3

x²-ax-a）=0，再討論一元二次方程

1

3

x²-ax-a=0的根的情況；
（2）若a=-1，則f（x）=

1

3

x³+x²+x，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個公共點(diǎn)，則方程f（x）=g（x）有兩個根，即方程

1

3

x³+x²+x=2x²+4x+c有兩個根，再變形c=

1

3

x³-x²-3x，令y=c、y=g（x）=

1

3

x³-x²-3x，畫函數(shù)y=g（x）=

1

3

x³-x²-3x圖象，結(jié)合圖象可得答案．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²-ax=x（

1

3

x²-ax-a），
令f（x）=0得x=0（此為函數(shù)的一個零點(diǎn)）與（

1

3

x²-ax-a）=0，
下面看方程

1

3

x²-ax-a=0的根的情況，
△=a²+

4

3

a
∴當(dāng)△=a²+

4

3

a＞0，即a＜-

4

3

，或a＞0時，方程

1

3

x²-ax-a=0有兩個根，故原函數(shù)有3個零點(diǎn)；
當(dāng)△=a²+

4

3

a=0，即a=-

4

3

，或a=0時，方程

1

3

x²-ax-a=0有1個根，故原函數(shù)有2個零點(diǎn)；
當(dāng)△=a²+

4

3

a＜0，即-

4

3

＜a＜0時，方程

1

3

x²-ax-a=0有0個根，故原函數(shù)有1個零點(diǎn)；
（2）若a=-1，則f（x）=

1

3

x³+x²+x，
函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個公共點(diǎn)，則方程f（x）=g（x）有兩個根，
即方程

1

3

x³+x²+x=2x²+4x+c有兩個根，
∴c=

1

3

x³-x²-3x，
令y=c、y=g（x）=

1

3

x³-x²-3x，
畫函數(shù)y=g（x）=

1

3

x³-x²-3x圖象：

從圖象知當(dāng)c=-9或-

20

3

＜c＜

5

3

時，函數(shù)y=c與y=g（x）=

1

3

x³-x²-3x有兩個交點(diǎn)，則函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個公共點(diǎn)，
綜上，c的取值范圍為{c|c=-9或-

20

3

＜c＜

5

3

}

點(diǎn)評：此題是典型題．考查函數(shù)零點(diǎn)的問題，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力，同時考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．