Question

11．已知函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$x²+1（a∈R）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在區(qū)間[0，+∞）上關(guān)于x的不等式f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^x-ax-1，（x≥0），通過(guò)討論a的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出滿足條件的a的具體范圍即可．

解答 解：（1）a=0時(shí)，f（x）=（x-1）e^x-$\frac{1}{2}$x²+1，
f′（x）=xe^x-x=x（e^x-1）≥0，
x≥0時(shí)，e^x-1≥0，x＜0時(shí)，e^x-1＜0，
∴f（x）在R遞增；
（2）f（x）=（x-1）e^x-$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$x²+1，（x≥0），
f′（x）=x（e^x-ax-1），
令g（x）=e^x-ax-1，（x≥0），
g′（x）=e^x-a，
①a≤1時(shí)，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）遞增，
∴g（x）≥g（0）=0，即f′（x）≥0，
∴f（x）≥f（0）=0，成立，
②當(dāng)a＞1時(shí)，存在x₀∈[0，+∞），使g（x₀）=0，即f′（x₀）=0，
當(dāng)x∈[0，x₀）時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在[0，x₀）上單調(diào)遞減，
∴f（x）＜f（0）=0，這與f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立矛盾，
綜上：a≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題等基礎(chǔ)題知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．