Question

2．若一圓經(jīng)過(guò)直線(xiàn)l：2x+y+4=0和圓C：x²+y²+2x-4y+1=0的交點(diǎn)，求：
（1）面積最小的圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)（2，-1）的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知，弦長(zhǎng)為直徑的圓的面積最小，由垂徑定理求出半弦長(zhǎng)，就是最小的圓的半徑，再聯(lián)立直線(xiàn)方程和圓的方程，利益根與系數(shù)的關(guān)系求出圓心坐標(biāo)，即可求得面積最小的圓的方程；
（2）設(shè)出設(shè)經(jīng)過(guò)直線(xiàn)l：2x+y+4=0和圓C：x²+y²+2x-4y+1=0的圓系方程，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)求得λ，則圓的方程可求．

解答 解：（1）∵圓x²+y²+2x-4y+1=0的方程可化為（x+1）²+（y-2）²=4．
∴圓心坐標(biāo)為（-1，2），半徑為r=2；
∴圓心到直線(xiàn)2x+y+4=0的距離為d=$\frac{|-2+2+4|}{\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$．
設(shè)直線(xiàn)2x+y+4=0和圓x²+y²+2x-4y+1=0的交點(diǎn)為A，B．則|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-uxhlnse^{2}}=2\sqrt{4-（\frac{4}{\sqrt{5}}）^{2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$．
∴過(guò)點(diǎn)A，B的最小圓半徑為$\frac{2}{\sqrt{5}}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y+4=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+2x-4y+1=0}\end{array}\right.$，得5x²+26x+33=0，
故${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{26}{5}$，則圓心的橫坐標(biāo)為$-\frac{13}{5}$，縱坐標(biāo)為2×（-$\frac{13}{5}$）-4=$-\frac{46}{5}$，
∴最小圓的圓心為（-$\frac{13}{5}$，$-\frac{46}{5}$），
∴最小圓的方程為（x+$\frac{13}{5}$）²+（y+$\frac{46}{5}$）²=$\frac{4}{5}$；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)直線(xiàn)l：2x+y+4=0和圓C：x²+y²+2x-4y+1=0的交點(diǎn)的圓的方程為x²+y²+2x-4y+1+λ（2x+y+4）=0．
∵點(diǎn)（2，-1）在圓上，∴2²+（-1）²+2×2-4×（-1）+1+λ（4-1+4）=0，
解得：λ=-2．
∴所求圓的方程為：x²+y²+2x-4y+1+-2（2x+y+4）=0．
即x²+y²-2x-6y-7=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了圓系方程的應(yīng)用，是中檔題．