Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（m+1）x+m（m∈R）．
（1）若tanA，tanB為方程f（x）+4=0的兩個(gè)實(shí)根，并且A，B為銳角，求m的取值范圍；
（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)a，恒有f（2+cosa）≤0，證明：m≥3．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）x²-（m+1）x+m+4=0，（m∈R）．得出△=m²+2m+1-4m-16=m²-2m-15≥0，m+1＞0，m+4＞0，求解即可．
（2）運(yùn)用（2+cosα）²-（m+1）（2+cosα）+m≤0運(yùn)用，m≥2+cosα，恒成立問題求解．

解答： 解：（1）由f（x）+4=0，
即x²-（m+1）x+m+4=0，（m∈R）．
△=m²+2m+1-4m-16=m²-2m-15≥0，
∴m≥5或，m≤-3，
同時(shí)，tanA+tanB＞0，tanA•tanB＞0，
∴m+1＞0，m+4＞0，得出m＞-1，
∴m≥5．
（2）f（2+cosα）=（2+cosα）²-（m+1）（2+cosα）+m≤0，
即m（1+cosα）≥（1+cosα）（2+cosα）
當(dāng)1+cosα=0時(shí)，顯然成立，當(dāng)1+cosα≠0時(shí)，m≥2+cosα，
∴m≥3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，不等式的求解，屬于中檔題．