Question

已知橢圓

x2

m

+

y2

n

=1與雙曲線

x2

p

-

y2

q

=1（m，n，p，q∈R⁺）有共同的焦點F₁、F₂，P是橢圓和雙曲線的一個交點，則|PF₁|•|PF₂|=

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先由橢圓和雙曲線有共同的焦點F₁、F₂，得到m-n=p+q；再根據(jù)點P為橢圓和雙曲線的一個交點結(jié)合定義求出|PF₁|與|PF₂|的表達(dá)式，代入即可求出|PF₁|•|PF₂|的值．

解答： 解：由于橢圓

x2

m

+

y2

n

=1與雙曲線

x2

p

-

y2

q

=1（m，n，p，q∈R⁺）有共同的焦點F₁、F₂，
則m-n=p+q，
不妨設(shè)P為雙曲線右支上的點，
則由橢圓的定義，可得|PF₁|+|PF₂|=2

m

，①
由雙曲線的定義，可得|PF₁|-|PF₂|=2

p

，②
由①②得：|PF₁|=

m

+

p

，|PF₂|=

m

-

p

．
∴|PF₁|•|PF₂|=m-p．
故答案為：m-p．

點評：本題主要考查橢圓和雙曲線的定義，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．