Question

11．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，M為C上除長(zhǎng)軸頂點(diǎn)外的一動(dòng)點(diǎn)，以M為圓心，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$為半徑作圓，過原點(diǎn)O作圓M的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，當(dāng)M為短軸頂點(diǎn)時(shí)∠AOB=$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作MF的垂線交直線x=$\sqrt{2}$a于N點(diǎn)，判斷直線MN與橢圓的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （I）利用△OMA（△OMB）為等腰直角三角形，求出b=1，通過離心率求解a，然后求解橢圓方程．
（II）（i）MF垂直于x軸，驗(yàn)證直線MN與橢圓相切；
（ii）MF不垂直于x軸，設(shè)M（x₀，y₀），則${k_{MF}}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}，{k_{NF}}=\frac{{1-{x_0}}}{y_0}$，轉(zhuǎn)化求解直線MN方程，與橢圓方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化證明直線MN與橢圓相切．

解答 解：（I）由題意，△OMA（△OMB）為等腰直角三角形，因?yàn)閳AM的半徑為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以b=1，
又因?yàn)?\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以$a=\sqrt{2}$，此時(shí)橢圓的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（II）（i）MF垂直于x軸，則$M（{1，±\frac{{\sqrt{2}}}{2}}），N（{2，0}），{k_{MN}}=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
此時(shí)直線MN的方程為$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{x-2}）$，代入橢圓方程得：x²-2+1=0，
所以直線MN與橢圓相切；
（ii）MF不垂直于x軸，設(shè)M（x₀，y₀），則${k_{MF}}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}，{k_{NF}}=\frac{{1-{x_0}}}{y_0}$，
直線NF的方程$y=\frac{{1-{x_0}}}{y_0}（{x-1}）$，令x=2，解得$y=\frac{{1-{x_0}}}{y_0}$，即得$N（{2，\frac{{1-{x_0}}}{y_0}}）$．${k_{MN}}=\frac{{\frac{{1-{x_0}}}{y_0}-{y_0}}}{{2-{x_0}}}=\frac{{1-{x_0}-{y_0}^2}}{{（{2-{x_0}}）{y_0}}}$，由M（x₀，y₀）在橢圓上，得${y_0}^2=1-\frac{x_0^2}{2}$，
代入${k_{MN}}=\frac{{1-{x_0}-{y_0}^2}}{{（{2-{x_0}}）{y_0}}}=\frac{{1-{x_0}-（{1-\frac{x_0^2}{2}}）}}{{（{2-{x_0}}）{y_0}}}=-\frac{x_0}{{2{y_0}}}$．
得直線MN方程為$y-{y_0}=-\frac{x_0}{{2{y_0}}}（{x-{x_0}}）$，
與橢圓方程聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}y-{y_0}=-\frac{x_0}{{2{y_0}}}（{x-{x_0}}）\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.⇒（{1+\frac{x_0^2}{2y_0^2}}）{x^2}-2\frac{x_0}{y_0^2}x+\frac{2}{y_0^2}-2=0$，
化簡(jiǎn)得：${（{\frac{1}{y_0}x-\frac{x_0}{y_0}}）^2}=0$，所以此時(shí)直線MN與橢圓相切，
綜合（i）（ii），直線MN與橢圓相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．