【題目】在工業(yè)生產(chǎn)中，對一正三角形薄鋼板（厚度不計）進(jìn)行裁剪可以得到一種梯形鋼板零件，現(xiàn)有一邊長為3（單位：米）的正三角形鋼板（如圖），沿平行于邊的直線將剪去，得到所需的梯形鋼材,記這個梯形鋼板的周長為 （單位：米），面積為（單位：平方米）.

（1）求梯形的面積關(guān)于它的周長的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若在生產(chǎn)中，梯形的面積與周長之比（即）達(dá)到最大值時，零件才能符合使用要求，試確定這個梯形的周長為多時，該零件才可以在生產(chǎn)中使用？

【答案】（1）；（2）當(dāng)米時，該零件才可以在生產(chǎn)中使用。

【解析】

（1）根據(jù)幾何關(guān)系得到是正三角形，,，則 ，；（2）由（1）得 ，令 ，對此函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而得到最值.

（1）是正三角形，

是正三角形，,，

則 ，

，

化簡得.

故梯形的面積關(guān)于它的周長的函數(shù)關(guān)系式為

.

（2）由（1）得 ，

令 ，

，令，得或（舍去），

列表如下：

0

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

當(dāng)時，函數(shù)有最大值，為.

當(dāng)米時，該零件才可以在生產(chǎn)中使用.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中，，,分別是,的中點．

（1）求證：∥平面；

（2）求證：平面平面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)均為大于1的整數(shù).證明：存在個不被整除的整數(shù)，若將它們?nèi)我夥殖蓛山M，則總有一組有若干個數(shù)的和被整除.

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【題目】如圖，在三棱柱中，已知側(cè)面，，，，點在棱上.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）試確定點的位置，使得二面角的余弦值為．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知（且）是R上的奇函數(shù)，且.

（1）求的解析式；

（2）若關(guān)于x的方程在區(qū)間內(nèi)只有一個解，求m的取值集合；

（3）設(shè)，記，是否存在正整數(shù)n，使不得式對一切均成立？若存在，求出所有n的值，若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓，記為與原點距離等于的全體直線所成的集合.問：是否存在常數(shù)，使得對任意的直線，均存在、，、分別過 與橢圓的交點、，且有？并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值；

（2）令其圖象上任意一點處切線的斜率恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)，，方程有唯一實數(shù)解，求正數(shù)的值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：，過拋物線焦點且與軸垂直的直線與拋物線相交于、兩點，且的周長為.

（1）求拋物線的方程；

（2）若直線過焦點且與拋物線相交于、兩點，過點、分別作拋物線的切線、，切線與相交于點，求：的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】遞增的等差數(shù)列的前項和為.若與是方程的兩個實數(shù)根.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）當(dāng)為多少時，取最小值，并求其最小值；

（3）求.

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