【題目】設函數(shù).

1)當時,求函數(shù)的最大值;

2)令其圖象上任意一點處切線的斜率恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

3)當,方程有唯一實數(shù)解,求正數(shù)的值

【答案】(1)(2)(3)

【解析】

1)對函數(shù)進行求導,判斷其在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,從而得到最大值為;

2)求出函數(shù),,則其導數(shù)小于等于恒成立,進而求出的取值范圍;

3)方程有唯一實數(shù)解,設,利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象特征,設為方程的唯一解,得到,把方程組轉(zhuǎn)化成,再利用導數(shù)研究該方程的根,最后根據(jù)根的唯一性,得到的關系,再求出正數(shù)的值.

1)依題意,知的定義域為,

時,,

,解得.

時,,此時單調(diào)遞增;

時,,此時單調(diào)遞減.

所以的極大值為,此即為最大值.

2,,則有,在上恒成立,所以,.

時,取得最大值,所以.

3)因為方程有唯一實數(shù)解,所以有唯一實數(shù)解,

,則.

,,

因為,,所以(舍去),,

時,,上單調(diào)遞減,

時,,上單調(diào)遞增,

時,,取最小值.

,即,

所以,

因為,所以

設函數(shù),

因為當時,是增函數(shù),所以至多有一解,

,所以方程的解為,即,解得.

練習冊系列答案
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