【題目】如圖,在三棱柱中,已知側面,,,,點在棱上.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)試確定點的位置,使得二面角的余弦值為.
【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)點在的中點.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)首先根據(jù)余弦定理計算,在中滿足勾股定理,,然后根據(jù)題設所給的平面,得到,這樣就證明了線面垂直的條件;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,BC、BA、BC1兩兩垂直,以B為空間坐標系的原點,建立如圖所示的坐標系,設,這樣設點的坐標,求平面和平面的法向量,根據(jù)求,確定點E的位置.
試題解析:解:(Ⅰ)證明:∵BC=,CC1=BB1=2,∠BCC1=,在△BCC1中,由余弦定理,可求得C1B=,
∴C1B2+BC2=,即C1B⊥BC.
又AB⊥側面BCC1B1,故AB⊥BC1,又CB∩AB=B,所以C1B⊥平面ABC;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,BC、BA、BC1兩兩垂直,以B為空間坐標系的原點,建立如圖所示的坐標系,
則B(0,0,0),A(0,2,0),C(,0,0),C1(0,0,),B1(﹣,0,),
∴=(0,2,﹣),
設,則=+λ=(0,0,﹣)+λ(﹣,0,)=(﹣λ,0,﹣+λ)
設平面AC1E的一個法向量為=(x,y,z),由,得,
令z=,取=(,1,),
又平面C1EC的一個法向量為=(0,1,0)
所以cos<,>===,解得λ=.
所以當λ=時,二面角A﹣C1E﹣C的余弦值為.
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【題目】如圖,在以、、、、、為頂點的五面體中,平面平面,,四邊形為平行四邊形,且.
(1)求證:;
(2)若,,直線與平面所成角為,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上是減函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)在上存在兩個極值點,且,證明: .
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【題目】如圖(1)五邊形中,
,將沿折到的位置,得到四棱錐,如圖(2),點為線段的中點,且平面.
(1)求證:平面平面;
(2)若直線與所成角的正切值為,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】在平面直角坐標系中,拋物線的頂點是原點,以軸為對稱軸,且經過點.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)設點, 在拋物線上,直線, 分別與軸交于點, , .求直線的斜率.
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù), ),以原點為極點, 軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線與的直角坐標方程;
(2)當與有兩個公共點時,求實數(shù)的取值范圍.
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