Question

【題目】如圖，在底面為矩形的四棱椎P﹣ABCD中，PB⊥AB．

（1）證明：平面PBC⊥平面PCD；
（2）若異面直線PC與BD所成角為60°，PB=AB，PB⊥BC，求二面角B﹣PD﹣C的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：∵四棱椎P﹣ABCD的底面為矩形，∴AB⊥BC．

∵PB⊥AB，PB∩BC=B，∴AB⊥平面PBC

∵CD∥AB，∴CD⊥平面PCD；

（2）解：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)PA=AB=1，BC=a，則B（0，0，0），C（0，0，a），P（1，0，0），D（0，1，a）

∴ ， ，

∵異面直線PC與BD所成角為60°∴ =cos60°．

∴ ，解得a=1，或a=﹣1（舍）

設(shè)平面PBD的法向量為 ，由 ，可取

設(shè)平面PCD的法向量為 ，由 可取

∴ =﹣

∵二面角B﹣PD﹣C為銳角．∴二面角B﹣PD﹣C的大小為 ．

【解析】（1）由ABCD為矩形得到AB⊥BC，結(jié)合PB⊥AB，可得到線AB⊥面PBC，再由平行不難得出證明結(jié)果，（2）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)法向量得到二面角B﹣PD﹣C的大小.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用平面與平面垂直的判定，掌握一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直即可以解答此題．