Question

已知（）是曲線上的點(diǎn)，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，， ．

（1）證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列；

（2）確定的取值集合，使時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；

（3）證明：當(dāng)時(shí)，弦（）的斜率隨單調(diào)遞增

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）由已知有，即，而數(shù)列中，因此已知式變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719092447282525/SYS201411171909360671253350_DA/SYS201411171909360671253350_DA.005.png">，這是的遞推式，我們可以用代換其中的得，兩式相減，可把轉(zhuǎn)化為的遞推式，出現(xiàn)了數(shù)列相鄰項(xiàng)的和時(shí)，同樣再把這個(gè)式子中的用代換，得，兩式相減，得，代入可證得為常數(shù)；（2）由（1）說明數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列且公差為6，因此要使數(shù)列為遞增數(shù)列，只要有即可，解這個(gè)不等式可得的范圍；（3），本題就是要證明，考慮到數(shù)列是遞增數(shù)列，函數(shù)是增函數(shù)，因此只要證，即證

，這就是，從的圖象上可算出這個(gè)結(jié)論是正確的，從數(shù)上看，取為常數(shù)，，我們要證明函數(shù)為增函數(shù)，這用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可證．

（1）當(dāng)時(shí)，由已知得，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719092447282525/SYS201411171909360671253350_DA/SYS201411171909360671253350_DA.040.png">，所以. ①

于是， ②

由②－①得， ③

于是， ④

由④－③得. ⑤

所以，即數(shù)列是常數(shù)數(shù)列.

（2）由①有，所以.由③有，所以.而⑤表明數(shù)列和分別是以為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，

所以，

數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且對(duì)任意的成立，

且

.

即所求取值集合為.

（3）解法一：弦的斜率為，

任取，設(shè)函數(shù)，則，

記，則，

當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，

所以時(shí)，，從而，所以在和上都是增函數(shù).

由（2）知時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，

取，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719092447282525/SYS201411171909360671253350_DA/SYS201411171909360671253350_DA.091.png">，所以，

取，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719092447282525/SYS201411171909360671253350_DA/SYS201411171909360671253350_DA.091.png">，所以，

所以，即弦的斜率隨單調(diào)遞增.

解法二：設(shè)函數(shù)，同解法一得，在和上都是增函數(shù)，

所以，，

故，即弦的斜率隨單調(diào)遞增.

考點(diǎn)：（1）數(shù)列的通項(xiàng)與性質(zhì)；（2）遞增數(shù)列與參數(shù)取值范圍；（3）數(shù)列與導(dǎo)數(shù)、解析幾何的綜合.