Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a≠0）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）函數(shù)f（x）的圖象在x=4處切線的斜率為

3

2

，若函數(shù)g(x)=

1

3

x3+x2[f′(x)+

m

2

]在區(qū)間（1，3）上不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)f′（x），然后討論a的正負(fù)，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分情況討論即可；
（2）由切線斜率為

3

2

，可求出a值，進(jìn)而求出f（x）、f′（x），根據(jù)g（x）在區(qū)間（1，3）上不單調(diào)，則g′（x）在區(qū)間（1，3）上改變符號(hào)，從而得到m所滿足的條件．

解答：解�。�1）∵f（x）=alnx-ax-3（a≠0），
∴f′（x）=

a(1-x)

x

（x＞0），
①當(dāng)a＞0時(shí)，若x∈（0，1），則f′（x）＞0；若x∈（1，+∞），則f′（x）＜0，
∴當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1]，單調(diào)遞減區(qū)間為[1，+∞）；
②當(dāng)a＜0時(shí)，若x∈（1，+∞），則f′（x）＞0；若x∈（0，1），則f′（x）＜0，
∴當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1]；
（2）由題意知，f′（4）=-

3a

4

=

3

2

，得a=-2，則f（x）=-2lnx+2x-3，
∴g（x）=

1

3

x³+x²（2-

2

x

+

m

2

）=

1

3

x³+（

m

2

+2）x²-2x，
∴g′（x）=x²+（m+4）x-2．
∵g（x）在區(qū)間（1，3）上不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）=-2＜0，
∴

g′(1)＜0 g′(3)＞0

，即

1+(m+4)-2＜0 32+3(m+4)-2＞0

解得-

19

3

＜m＜-3，
故m的取值范圍是（-

19

3

，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即該點(diǎn)處切線的斜率，解題時(shí)要注意運(yùn)用切點(diǎn)在曲線上和切點(diǎn)在切線上．對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．屬于中檔題．