Question

6．設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足x²-（a+$\frac{1}{a}$）x+1＜0，其中a＞1；命題q：實(shí)數(shù)x滿足x²-4x+3≤0．
（1）若a=2，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）命題p：實(shí)數(shù)x滿足x²-（a+$\frac{1}{a}$）x+1＜0，其中a＞1，解得$\frac{1}{a}＜x＜a$，由a=2，可得$\frac{1}{2}＜x＜2$；命題q：實(shí)數(shù)x滿足x²-4x+3≤0，解得x范圍．利用p∧q為真即可得出．
（2）p是q的必要不充分條件，可得q⇒p，且p推不出q，設(shè)A=$（\frac{1}{a}，a）$，B=[1，3]，則B?A，即可得出．

解答 解：（1）命題p：實(shí)數(shù)x滿足x²-（a+$\frac{1}{a}$）x+1＜0，其中a＞1，化為$（x-a）（x-\frac{1}{a}）$＜0，解得$\frac{1}{a}＜x＜a$，∵a=2，∴$\frac{1}{2}＜x＜2$；
命題q：實(shí)數(shù)x滿足x²-4x+3≤0，解得1≤x≤3．
∵p∧q為真，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜x＜2}\\{1≤x≤3}\end{array}\right.$，解得1≤x＜2．
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是1≤x＜2．
（2）p是q的必要不充分條件，∴q⇒p，且p推不出q，設(shè)A=$（\frac{1}{a}，a）$，B=[1，3]，
則B?A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}＜1}\\{3＜a}\end{array}\right.$，解得3＜a．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是3＜a．

點(diǎn)評 本題考查了不等式的解法、集合的運(yùn)算性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．