Question

16．已知函數f（x）=sinx（x∈R），則下列四個說法：
①函數g（x）=$\frac{{f}^{2}（x）-f（x）}{f（x）-1}$是奇函數；
②函數f（x）滿足：對任意x₁，x₂∈[0，π]且x₁≠x₂都有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]；
③若關于x的不等式f²（x）-f（x）+a≤0在R上有解，則實數a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{4}$]；
④若關于x的方程3-2cos²x=f（x）-a在[0，π]恰有4個不相等的解x₁，x₂，x₃，x₄；則實數a的取值范圍是[-1，-$\frac{7}{8}$），且x₁+x₂+x₃+x₄=2π；
其中說法正確的序號是③④．

Answer 1

分析 ①求出函數g（x）的定義域，由定義域不關于原點對稱判斷函數為非奇非偶函數；
②利用三角函數的和差化積判斷；
③利用換元法，把不等式轉化為一元二次不等式求解；
④利用換元法，把函數轉化為一元二次函數進行零點判斷．

解答 解：對于①，由f（x）-1≠，得f（x）≠1，∴sinx≠1，即$x≠\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
則函數g（x）=$\frac{{f}^{2}（x）-f（x）}{f（x）-1}$的定義域為{x|$x≠\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$}，函數為非奇非偶函數，故①錯誤；
對于②，對任意x₁，x₂∈[0，π]且x₁≠x₂，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=sin$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]=$\frac{1}{2}（sin{x}_{1}+sin{x}_{2}）$=$\frac{1}{2}•2sin\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}cos\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{2}$≤sin$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，故＜②錯誤；
對于③，令f（x）=sinx=t（-1≤t≤1），
關于x的不等式f²（x）-f（x）+a≤0在R上有解，即t²-t+a≤0在[-1，1]上有解，
則$（\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{2}+a≤0$，即a$≤\frac{1}{4}$，∴實數a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{4}$]，故③正確；
對于④，關于x的方程3-2cos²x=f（x）-a在[0，π]恰有4個不相等的解x₁，x₂，x₃，x₄，
即2sin²x-sinx+1+a=0在[0，π]恰有4個不相等的解x₁，x₂，x₃，x₄，
∵x∈[0，π]，∴sinx∈[0，1]，設t=sinx，則t∈[0，1]，2t²-t+1+a=0．
由于[0，1）內的一個t值對應了[0，π]內的2個x值，
則由題意可得，關于t的方程f（t）=2t²-t+1+a=0在[0，1）上有兩個不等根．
則$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=1+a≥0}\\{f（\frac{1}{4}）=2×（\frac{1}{4}）^{2}-\frac{1}{4}+1+a＜0}\end{array}\right.$，解得-1$≤a＜-\frac{7}{8}$，此時x₁+x₂+x₃+x₄=2π，故④正確．
∴正確的命題是③④．
故答案為：③④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了與正弦函數有關的復合函數的性質判斷，考查了復合函數的零點判斷，是中檔題．