Question

19．已知定義在R的函數(shù)f（x）=e^x-e^-x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）判斷f（x）奇偶性，并說明理由；
（2）若關(guān)于x的不等式f（m-2）+f（cos²x+4sinx）＜0在R上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷即可；（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性得到m＜2-cos²x-4sinx，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)從而求出m的范圍即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是R，
且f（-x）=e^-x-e^x=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函數(shù)；
（2）∵f（x）是R上的增函數(shù)，
則由f（m-2）+f（cos²x+4sinx）＜0，
得：f（m-2）＜f（-cos²x-4sinx），
得：m＜2-cos²x-4sinx=sin²x-4sinx+1，
因?yàn)閟inx∈[-1，1]，則當(dāng)sinx=1時(shí)，g（x）_min=-2，
∴m＜-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．