Question

9．數列{a_n}滿足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=$\frac{n}{2}$，前n項和為S_n，則S_n=$\frac{3}{4}（1-\frac{1}{3^n}）$．

Answer 1

分析 數列{a_n}滿足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=$\frac{n}{2}$，可得：n=1時，a₁=$\frac{1}{2}$．n≥2時，a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1=$\frac{n-1}{2}$，可得3^n-1a_n=$\frac{1}{2}$，再利用等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：∵數列{a_n}滿足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=$\frac{n}{2}$，
∴n=1時，a₁=$\frac{1}{2}$；
n≥2時，a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1=$\frac{n-1}{2}$，
∴3^n-1a_n=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{2}×\frac{1}{{3}^{n-1}}$，n=1時也成立．
∴數列{a_n}是等比數列，首項為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{3}$．
前n項和為S_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{4}（1-\frac{1}{3^n}）$．
故答案為：$\frac{3}{4}（1-\frac{1}{3^n}）$．

點評 本題考查了等比數列的通項公式、求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．