Question

14．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{k}{x}$．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間為（0，1）上單調(diào)遞減，求k的取值范圍；
（2）若k取（1）中的最小值，且x≥1，求證：2+$\frac{1-e}{x}$≤f（x）≤$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{x}$）．

Answer 1

分析 （1）令f′（x）≤0在（0，1）上恒成立即可得出k的范圍；
（2）令h（x）=f（x）-2-$\frac{1-e}{x}$，g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{x}$），利用導(dǎo)數(shù)求出h（x）和g（x）的最值，得出h（x）≥0，g（x）≤0即可得證．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{k}{{x}^{2}}$=$\frac{x-k}{{x}^{2}}$，
∵f（x）在區(qū)間為（0，1）上單調(diào)遞減，
∴f′（x）=$\frac{x-k}{{x}^{2}}$≤0在（0，1）上恒成立，
∴即k≥x在（0，1）上恒成立，
∴k≥1．
（2）證明：由（Ⅰ）k=1，f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，
2+$\frac{1-e}{x}$≤f（x）≤$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{x}$）?2+$\frac{1-e}{x}$≤lnx+$\frac{1}{x}$≤$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{x}$）?2-$\frac{e}{x}$≤lnx≤$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{x}$）．
設(shè)h（x）=lnx+$\frac{e}{x}$-2，則$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{e}{x^2}=\frac{x-e}{x^2}$，
∴h（x）在（1，e）上單調(diào)遞減，在（e，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h_min（x）=h（e）=0，∴h（x）≥0，即2-$\frac{e}{x}$≤lnx．
設(shè)g（x）=lnx-$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$，則g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2{x}^{2}}$=$\frac{-（x-1）^{2}}{2{x}^{2}}$≤0，
∴g（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，∴g（x）≤g（1）=0，即lnx≤$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{x}$）．
綜上，則x≥1時(shí)$2+\frac{1-e}{x}≤f（x）≤\frac{1}{2}（x+\frac{1}{x}）$成立．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值的計(jì)算，屬于中檔題．