Question

曲線C：（5-m）x²+（m-2）y²=8（m∈R）．
（1）若曲線C表示雙曲線，求m的范圍；
（2）若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，求m的范圍；
（3）設(shè)m=4，曲線C與y軸交點為A，B（A在B上方），y=kx+4與曲線C交于不同兩點M，N，y=1與BM交于G，求證：A，G，N三點共線．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì),橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）若曲線C表示雙曲線，則：（5-m）（m-2）＜0，解得m的范圍；   
（2）若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則m-2＞5-m＞0，解得m的取值范圍；
（3）由已知直線代入橢圓方程化簡得：（2k²+1）x²+16kx+24=0，△=32（2k²-3），解得：k²＞

3

2

，設(shè)N（x_N，kx_N+4），M（x_M，kx_M+4），G（x_G，1），MB方程為：y=

kxM+6

xM

x-2，則G（

3xM

kxM+6

，1），從而可得

AG

=（

3xM

kxM+6

，-1），

AN

=（x_N，kx_N+2），欲證A，G，N三點共線，只需證

AG

，

AN

共線，利用韋達定理，可以證明．

解答： 解：（1）若曲線C表示雙曲線，
則：（5-m）（m-2）＜0，
解得：m∈（-∞，2）∪（5，+∞）；                              
（2）若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，
則：m-2＞5-m＞0．
解得：m∈（

7

2

，5）…（8分）
證明：（3）當(dāng)m=4，曲線C可化為：x²+2y²=8，
當(dāng)x=0時，y=±2，
故A點坐標(biāo)為：（0，2），B（0，-2）
將直線y=kx+4代入橢圓方程x²+2y²=8得：（2k²+1）x²++16kx+24=0，
若y=kx+4與曲線C交于不同兩點M，N，
則△=32（2k²-3）＞0，解得：k²＞

3

2

，…（10分）
由韋達定理得：x_m+x_n=-

16k

2k2+1

  ①，
x_m•x_n=

24

2k2+1

    ②…（12分）
設(shè)N（x_N，kx_N+4），M（x_M，kx_M+4），G（x_G，1），
MB方程為：y=

kxM+6

xM

x-2，則G（

3xM

kxM+6

，1），…（14分）
∴

AG

=（

3xM

kxM+6

，-1），

AN

=（x_N，kx_N+2），
欲證A，G，N三點共線，只需證

AG

，

AN

共線，
即

3xM

kxM+6

（kx_N+2）=-x_N，
將①②代入可得等式成立，則A，G，N三點共線得證．

點評：本題考查橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三點共線，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理進行求解．