Question

15．若直線l：ax+by+4=0（a＞0，b＞0）始終平分圓x²+y²+8x+2y+1=0，則ab的最大值為1．

Answer 1

分析 由題意可得直線經(jīng)過圓的圓心（-4，-1），4a+b=4，再利用基本不等式求得ab的最大值．

解答 解：∵直線ax+by+4=0（a＞0，b＞0）始終平分圓x²+y²+8x+2y+1=0，
∴直線經(jīng)過圓的圓心（-4，-1），
則有-4a-b+4=0，即 4a+b=4，
由基本不等式可得，4a+b=4≥2$\sqrt{4ab}$=4$\sqrt{ab}$，
當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=$\frac{1}{2}$時(shí)，取等號(hào)，由此可得ab≤1，
∴ab的最大值是1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線和圓相交的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是直線平分圓的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．