Question

6．已知是一個三角形的內(nèi)角，且sinα+cosα=$\frac{1}{5}$
（1）求tanα的值；
（2）用tanα表示$\frac{1}{si{n}^{2}α-co{s}^{2}α}$并求其值．

Answer 1

分析 （1）將已知等式兩邊平方，利用完全平方公式化簡，整理后判斷出sinα與cosα的正負(fù)，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系得到sin²α+cos²α=1，聯(lián)立求出sinα與cosα的值，即可確定出tanα的值．
（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡求解即可．

解答 解：（1）將sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，兩邊平方得：（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=$\frac{1}{25}$，
∴sinαcosα=-$\frac{12}{25}$＜0，即sinα＞0，cosα＜0，
與sin²α+cos²α=1，聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{sinα+cosα=\frac{1}{5}}\\{{sin}^{2}α+co{s}^{2}α=1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{sinα=\frac{4}{5}}\\{cosα=-\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
則tanα=-$\frac{4}{3}$．
（2）$\frac{1}{si{n}^{2}α-co{s}^{2}α}$=$\frac{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α-co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α+!}{ta{n}^{2}α-1}$=$\frac{（{-\frac{4}{3}）}^{2}+1}{（-\frac{4}{3}）^{2}-1}$=$\frac{25}{7}$．

點評 此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．