Question

（本小題滿(mǎn)分14分） 若橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為，⊙O的圓心在原點(diǎn)，直徑為橢圓的短軸，⊙M的方程為，過(guò)⊙M上任一點(diǎn)P作⊙O的切線(xiàn)PA、PB，切點(diǎn)為A、B.
(1) 求橢圓的方程；
（2）若直線(xiàn)PA與⊙M的另一交點(diǎn)為Q，當(dāng)弦PQ最大時(shí)，求直線(xiàn)PA的方程。

Answer 1

（1）；（2） 。

本試題主要是考查了橢圓的方程的求解，以及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用以及直線(xiàn)方程求解問(wèn)題綜合運(yùn)用。
（1）由題意中離心率和過(guò)點(diǎn)（-3,2）得到關(guān)系參數(shù)a,b,c的關(guān)系式，進(jìn)而求解得到橢圓的方程。
（2）由題可知當(dāng)直線(xiàn)PA過(guò)圓M的圓心（8，6）時(shí)，弦PQ最大，
因?yàn)橹本�(xiàn)PA的斜率一定存在，設(shè)直線(xiàn)PA的方程為：y-6=k(x-8)，然后又因?yàn)镻A與圓O相切，所以圓心（0，0）到直線(xiàn)PA的距離可知，從而得到k的值，得到直線(xiàn)方程。
解：（1）由題意得： ，     ………4分
所以橢圓的方程為     …………………………………………6分
（2）由題可知當(dāng)直線(xiàn)PA過(guò)圓M的圓心（8，6）時(shí)，弦PQ最大，      ……8分
因?yàn)橹本�(xiàn)PA的斜率一定存在，設(shè)直線(xiàn)PA的方程為：y-6=k(x-8)     ……10分
又因?yàn)镻A與圓O相切，所以圓心（0，0）到直線(xiàn)PA的距離為 ……11分
即 可得             ……………………12分
所以直線(xiàn)PA的方程為：  …………14分