Question

已知二次函數(shù)f（x）=-x²+bx（（b為常數(shù)）滿足條件：方程f（x）=2x有兩個相等的實數(shù)根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在實數(shù)m，n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[4m，4n]？如果存在，請求出來．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）=2x，得到-x²+（b-2）x=0，根據(jù)△=0，解出b的值即可；（2）結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到方程組解出即可．

解答： 解：（1）由f（x）=2x得-x²+（b-2）x=0，
因為方程f（x）=2x有兩個相等的實數(shù)根，則（b-2）²=0，
即b=2，
∴f（x）=-x²+2x；
（2）∵f（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1≤1，
∴4n≤1即n≤

1

4

，
又函數(shù)f（x）的對稱軸為x=1，
∴n≤

1

4

，函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，n]單調(diào)遞增，
若滿足題意的m，n存在，則

f(m)=4m f(n)=4n

，
即

-m2+2m=4m -n2+2n=4n

，
解得

m=0或-2 n=0或-2

，
又m＜n≤

1

4

，
∴m=-2，n=0，
此時定義域為[-2，0]，值域為[-8，0]．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了根的判別式，是一道中檔題．