Question

一束光線從點(diǎn)F₁（-1，0）出發(fā)，經(jīng)直線l：x+2y+6=0上一點(diǎn)M反射后，恰好穿過點(diǎn)F₂（1，0）．
（1）求點(diǎn)F₁關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)F′₁的坐標(biāo)；
（2）求以F₁、F₂為焦點(diǎn)且過點(diǎn)M的橢圓C的方程；
（3）若P是（2）中橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求

PF1

•

PF2

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)F'₁（x₀，y₀），則

y0

x0+1

=2，且

x0-1

2

+2•

y0

2

+6=0，由此能求出點(diǎn)F'₁的坐標(biāo)．
（2）由對稱性知，|MF₁|=|MF'₁|，根據(jù)橢圓定義，得：2a=|MF'₁|+|MF₂|=|F'₁F₂|，即a=2

2

．再由c=1，能求出橢圓C的方程．
（3）設(shè)P（x，y），則y2=7-

7

8

x2，由此能求出

PF1

•

PF2

的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)F'₁（x₀，y₀），
則

y0

x0+1

=2，且

x0-1

2

+2•

y0

2

+6=0，
解得x₀=-3，y₀=-4，
故點(diǎn)F'₁的坐標(biāo)為（-3，-4）．（5分）
（2）由對稱性知，|MF₁|=|MF'₁|，
根據(jù)橢圓定義，得：
2a=|MF'₁|+|MF₂|=|F'₁F₂|
=

(-3-1)2+(-4-0)2

=4

2

，
即a=2

2

．
∵c=1，∴b=

a2-c2

=

7

．
∴橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

7

=1．（10分）
（3）設(shè)P（x，y），則y2=7-

7

8

x2，
∴

PF1

•

PF2

=(-1-x，-y)•(1-x，-y)=x2+y2-1=

1

8

x2+6．
∵x∈[-2

2

，2

2

]，則x²∈[0，8]，
∴

PF1

•

PF2

的取值范圍是[6，7]．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查橢圓方程的求法，考查向量的數(shù)量積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．