Question

6．如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁ACC₁⊥平面$ABC，∠ABC=90°，BC=2，AC=2\sqrt{3}$，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C，求側(cè)面A₁ABB₁與底面ABC所成銳二面角的大�。�

Answer 1

分析 過點A₁作A₁O⊥AC，由題意O為AC的中點，過點O作OD⊥AC交AB于D，由平面A₁ACC₁⊥平面ABC，得A₁O⊥平面ABC，以O為原點，OD，OC，OA₁分別為x，y，z軸，建立如圖所示的直角坐標系．求出所用點的坐標，得到平面ABC與平面A₁ABB₁的一個法向量，利用兩平面法向量所成角的余弦值求得答案．

解答 解：過點A₁作A₁O⊥AC，由題意O為AC的中點，過點O作OD⊥AC交AB于D，
∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，∴A₁O⊥平面ABC，
以O為原點，OD，OC，OA₁分別為x，y，z軸，建立如圖所示的直角坐標系．
則$A（0，-\sqrt{3}，0），B（\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0），{A_1}（0，0，\sqrt{3}）$，
$\overrightarrow{AB}=（\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，\frac{{4\sqrt{3}}}{3}，0），\overrightarrow{A{A_1}}=（0，\sqrt{3}，\sqrt{3}）$，
由題意平面ABC的一個法向量為$\overrightarrow m=（0，0，\sqrt{3}）$，
設平面A₁ABB₁的一個法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
則由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2\sqrt{6}}{3}x+\frac{4\sqrt{3}}{3}y=0}\\{\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=1，則$x=\sqrt{2}，y=-1，\overrightarrow n=（\sqrt{2}，-1，1）$．
設平面A₁ABB₁與平面ABC所成銳二面角為θ，
則$cosθ=\frac{|\overrightarrow m•\overrightarrow n|}{|\overrightarrow m||\overrightarrow n|}=\frac{1}{2}$，∴θ=60°．
∴平面A₁ABB₁與平面ABC所成銳二面角為60°．

點評 本題考查二面角的平面角的求法，訓練了利用空間向量求二面角的大小，是中檔題．