Question

3．函數(shù)f（x）=ax+$\frac{x}$（a，b是非零實(shí)數(shù)）的圖象過(guò)點(diǎn)（1，3）和（2，3）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）奇偶性，并給出證明；
（3）用定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（1，3）和（2，3），用待定系數(shù)法求出a、b的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）先判定函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再根據(jù)f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（3）利用增函數(shù)的定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，+∞）上是增函數(shù)．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax+$\frac{x}$（a，b是非零實(shí)數(shù)）的圖象過(guò)點(diǎn)（1，3）和（2，3），
∴f（1）=a+b=3，f（2）=2a+$\frac{2}$=3，解得a=1，b=2，∴f（x）=x+$\frac{2}{x}$．
（2）根據(jù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足f（-x）=-x+$\frac{2}{-x}$=-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（3）設(shè)x₂＞x₁＞2，∵f（x₂）-f（x₁）=x₂-x₁+$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$=（ x₂-x₁ ）•（1-$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$），
由題設(shè)可得  x₂-x₁＞0，1-$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)的奇偶性的判定，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．