Question

已知橢圓方程為，右焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l交橢圓與A、B兩點(diǎn)．
（1）若直線l的傾斜角為，A點(diǎn)縱坐標(biāo)為正數(shù)，求S_△CAF；
（2）證明直線AC和直線BC斜率之和為定值，并求此定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知直線AF的斜率和點(diǎn)F（1，0），可以求出直線AF的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得出A的坐標(biāo)，從而求出AF的長度，接著求出點(diǎn)C到直線AF的距離，再利用面積公式即可．
（2）討論直線L的斜率．
①斜率為0時(shí)，方程為y=0，可以求出k_AC+K_BC=2；
②斜率不為0時(shí)，令方程為x=my+1，與橢圓方程聯(lián)立得到關(guān)于y的一元二次方程，再利用斜率公式分別求出直線AC和直線BC的斜率，相加后化簡得到2．綜上所述，得到k_AC+k_BC=2
解答：解：（1）利用點(diǎn)斜式易求出直線AF的方程：，通過直線AF方程與橢圓方程聯(lián)立得出A（0，），即|AF|=2
點(diǎn)C到直線AF的距離
．
（2）①若直線為y=0時(shí)，此時(shí)A（-2，0），B（2，0）．即k_AC+k_BC=
②若直線不為y=0時(shí)，設(shè)直線l方程為x=my+1，

整理得：（3m²+4）y²+6my-9=0，△=36m²+36（3m²+4）＞0恒成立
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴
∵
同理，
∴
=
=
=
=
∴直線AC與直線BC的斜率之和為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與橢圓綜合題，考查橢圓的準(zhǔn)線、焦點(diǎn)、直線的斜率等基礎(chǔ)知識(shí)，但計(jì)算量比較大，一定細(xì)心，離不開平時(shí)的練習(xí)與努力．