Question

19．如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD上的點，且BD∥平面AEF．
（1）求證：EF∥平ABD面；
（2）若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求證：平面AEF⊥平面ACD．

Answer 1

分析 （1）利用線面平行的性質(zhì)可得BD∥EF，從而得出EF∥平面ABD；
（2）由AE⊥平面BCD可得AE⊥CD，由BD⊥CD，BD∥EF可得EF⊥CD，從而有CD⊥平面AEF，故而平面AEF⊥平面ACD．

解答 證明：（1）∵BD∥平面AEF，BD?平面BCD，平面BCD∩平面AEF=EF，
∴BD∥EF，又BD?平面ABD，EF?平面ABD，
∴EF∥平ABD面．
（2）∵AE⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AE⊥CD，
由（1）可知BD∥EF，又BD⊥CD，
∴EF⊥CD，
又AE∩EF=E，AE?平面AEF，EF?平面AEF，
∴CD⊥平面AEF，又CD?平面ACD，
∴平面AEF⊥平面ACD．

點評 本題考查了線面平行、線面垂直的性質(zhì)，面面垂直的判定，屬于中檔題．