Question

10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，∠ABC=45°，AD=AP=2，$AB=DP=2\sqrt{2}$，E為CD的中點，點F在線段PB上．
（Ⅰ）求證：AD⊥PC；
（Ⅱ）試確定點F的位置，使得直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等．

Answer 1

分析 （I）利用勾股定理的逆定理證明AD⊥AP，BC⊥AC，從而AD⊥平面PAC，得出AD⊥PC；
（II）由面面垂直的性質可得AP⊥平面ABCD，建立空間坐標系，設$\frac{PF}{PB}$=λ，求出平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$和平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$，令|cos＜$\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{m}$＞|=|cos＜$\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{n}$＞|，解出λ即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：在平行四邊形ABCD中，連接AC，
因為$AB=2\sqrt{2}$，BC=2，∠ABC=45°，
由余弦定理得$A{C^2}=8+4-2•2\sqrt{2}•2•cos{45°}=4$，∴AC=2，
∴AC²+BC²=AB²，∴BC⊥AC，
又AD∥BC，∴AD⊥AC，
∵AD=AP=2，$DP=2\sqrt{2}$，∴AD²+AP²=DP²，∴PA⊥AD，
又AP∩AC=A，AP?平面PAC，AC?平面PAC，
∴AD⊥平面PAC，∵PC?平面PAC，
∴AD⊥PC．  
（Ⅱ）∵側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD∩底面ABCD=AD，PA⊥AD，PA?平面PAD，
∴PA⊥底面ABCD，
以A為原點，以直線DA，AC，AP坐標軸建立如圖所示空間直角坐標系A-xyz，
則A（0，0，0），D（-2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（-1，1，0），P（0，0，2），
所以$\overrightarrow{PC}=（0，2，-2）$，$\overrightarrow{PD}=（-2，0，-2）$，$\overrightarrow{PB}=（2，2，-2）$，設$\frac{PF}{PB}=λ$（λ∈[0，1]），
則$\overrightarrow{PF}=（2λ，2λ，-2λ）$，F(xiàn)（2λ，2λ，-2λ+2），
∴$\overrightarrow{EF}=（2λ+1，2λ-1，-2λ+2）$，
平面ABCD的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）．    
設平面PDC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}2y-2z=0\\-2x-2z=0\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1）．                  
∵直線EF與平面PDC所成的角和此直線與平面ABCD所成的角相等，
∴|cos＜$\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{m}$＞|=|cos＜$\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{n}$＞|，
即$\frac{2-2λ}{|\overrightarrow{EF}|}$=$\frac{2λ}{\sqrt{3}|\overrightarrow{EF}|}$，∴2-2λ=$\frac{2λ}{\sqrt{3}}$，解得$λ=\frac{{3-\sqrt{3}}}{2}$，
∴當$\frac{PF}{PB}=\frac{{3-\sqrt{3}}}{2}$時，直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等．

點評 本題考查了線面垂直的判定，空間向量與空間角的計算，屬于中檔題．