Question

6．以下四個命題中，真命題的個數是（　�。�
①“若a+b≥2，則a，b中至少有一個不小于1”的逆命題
②?α₀，β₀∈R，使得sin（α₀+β₀）=sinα₀+sinβ₀
③若a∈R，則“$\frac{1}{a}$＜1”是“a＞1”的必要不充分條件²⁴
④命題“?x₀∈R，x₀²+2x₀+3＜0”的否定是“?x∈R，x²+2x+3＞0”

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 對于①，寫出“若a+b≥2，則a，b中至少有一個不小于1”的逆命題，舉例說明可判斷①的正誤；
對于②，令α₀=β₀=0，可判斷②的正誤；
對于③，由$\frac{1}{a}$＜1⇒a＞1或a＜0，利用充分條件與必要條件之間的關系即可判斷③的正誤；
對于④，寫出命題“?x₀∈R，x₀²+2x₀+3＜0”的否定，即可判斷④的正誤．

解答 解：對于①，“若a+b≥2，則a，b中至少有一個不小于1”的逆命題為：“若a，b中至少有一個不小于1，則a+b≥2”錯誤，如a=1.1＞1，0.5＜1，1.1+0.5=1.6≥2不成立，故①錯誤；
對于②，?α₀，β₀∈R，使得sin（α₀+β₀）=sinα₀+sinβ₀，正確，如α₀=β₀=0時，sin（α₀+β₀）=sinα₀+sinβ₀成立，故②正確；
對于③，$\frac{1}{a}$＜1⇒a＞1或a＜0，因此“$\frac{1}{a}$＜1”是“a＞1”的必要不充分條件，故③正確；
對于④，命題“?x₀∈R，x₀²+2x₀+3＜0”的否定是“?x∈R，x²+2x+3≥0”，故④錯誤．
綜上所述，以上四個命題中，真命題的個數是2個，
故選：C．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查全稱命題與特稱命題的真假判斷、充分必要條件的判定及四種命題之間的關系，屬于中檔題．