Question

5．已知等差數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₃=7，a₅+a₇=26，前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（2）令${b_n}={3^n}•{a_n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．
（2）${b_n}={3^n}•{a_n}$=（2n+1）•3ⁿ，利用“錯(cuò)位相減”法與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₃=7，a₅+a₇=26，∴a₁+2d=7，2a₁+10d=26，
聯(lián)立解得a₁=3，d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，
S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n．
（2）${b_n}={3^n}•{a_n}$=（2n+1）•3ⁿ．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n+1）•3ⁿ，
3T_n=3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ+（2n+1）•3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=9+2×（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n+1）•3ⁿ⁺¹=3+2×$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-（2n+1）•3ⁿ⁺¹=-2n•3ⁿ⁺¹，
∴T_n=n•3ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)公式與求和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．