Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC⊥PB，△BCD為等邊三角形，PA=BD=$\sqrt{3}$，AB=AD，E為PC的中點．
（1）求AB；
（2）求平面BDE與平面ABP所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得BC⊥平面PAB，進一步得到BC⊥AB，再由△BCD為等邊三角形，且AB=AD，可得△ABC≌△ADC，由已知求解直角三角形可得AB；
（2）由（1）知，AC⊥BD，設AC∩BD=O，分別以OC、OD所在直線為x、y軸建立空間直角坐標系．求出平面BDE與平面ABP的一個法向量，再求兩個法向量夾角的余弦值，可得平面BDE與平面ABP所成二面角的正弦值．

解答 解：（1）連接AC，
∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，
又∵BC⊥PB，PB∩PA=P，
∴BC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，
∴BC⊥AB．
∵△BCD為等邊三角形，AB=AD，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠ACB=30°，∠CAB=60°，
又BD=$\sqrt{3}$，∴AB=$\frac{BD}{2sin60°}=\frac{\sqrt{3}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}=1$；
（2）由（1）知，AC⊥BD，設AC∩BD=O，
分別以OC、OD所在直線為x、y軸建立空間直角坐標系．
則D（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），B（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），E（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），A（$-\frac{1}{2}$，0，0），P（-$\frac{1}{2}$，0，$\sqrt{3}$）．
$\overrightarrow{BE}=（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，$\overrightarrow{BD}=（0，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{BA}=（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，0）$，$\overrightarrow{BP}=（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}）$．
設平面BDE的一個法向量為$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{z}_{1}=0}\\{\sqrt{3}{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，取${z}_{1}=\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{m}=（-3，0，\sqrt{3}）$；
設平面ABP的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{x}_{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_{2}=0}\\{-\frac{1}{2}{x}_{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_{2}+\sqrt{3}{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取${y}_{2}=\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{n}=（3，\sqrt{3}，0）$．
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-9}{\sqrt{12}×\sqrt{12}}$|=$\frac{3}{4}$．
平面BDE與平面ABP所成二面角的正弦值為$\sqrt{1-（\frac{3}{4}）^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$．

點評 本題考查空間中點、線、面間的距離的計算，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用空間向量求解二面角的平面角，是中檔題．