Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）令，區(qū)間， 為自然對數(shù)的底數(shù)。

（ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值，求實數(shù)的取值范圍；

（ⅱ）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的兩個極值分別為和，

求證： .

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間，減區(qū)間，（2）詳見解析

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)寫出單調(diào)區(qū)間；（2）（�。�函數(shù) 在區(qū)間D上有兩個極值，等價于 在 上有兩個不同的零點(diǎn)，令 ，得 ，通過求導(dǎo)分析得 的范圍為；（ⅱ） ，得，由分式恒等變換得，得，要證明 ，只需證 ，即證，

令 ， ，通過求導(dǎo)得到 恒成立，得證。

試題解析：

(1)當(dāng)時， ，

所以

若 ，則 所以的單調(diào)區(qū)增區(qū)間為

若則所以的單調(diào)區(qū)增區(qū)間為

（2）（�。�因為 ，

所以 ， ，

若函數(shù) 在區(qū)間D上有兩個極值，等價于 在 上有兩個不同的零點(diǎn)，

令 ，得 ，

設(shè) ，令

		大于0	0	小于0
	0	增		減

所以 的范圍為

（ⅱ）由（ⅰ）知，若函數(shù)在區(qū)間D上有兩個極值分別為 和，不妨設(shè) ，則 ，

所以

即 ，

要證 ，只需證 ，即證，

令 ，即證 ，即證 ，

令 ，因為 ，

所以 在上單調(diào)增， ，所以 ，

即 所以 ，得證。