Question

已知復(fù)數(shù)z=b-2i（b為實數(shù)），且

z

2-i

是實數(shù)．
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）若復(fù)數(shù)（z+ai）²在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義

專題：數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)

分析：（1）把z=b-2i（b為實數(shù)），代入

z

2-i

，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡后由虛部等于0求得b的值，則z可求；
（2）直接展開乘方運算，然后由實部大于0且虛部小于0求解實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵z=b-2i，
由

z

2-i

=

b-2i

2-i

=

(b-2i)(2+i)

(2-i)(2+i)

=

(2b+2)+(b-4)i

5

為實數(shù)，
則b=4．
∴z=4-2i；
（2）∵（z+ai）²=（4-2i+ai）²=16-（a-2）²+8（a-2）i在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限，
∴

16-(a-2)2＞0 8(a-2)＜0

，解得-2＜a＜2．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-2，2）．

點評：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．