Question

已知雙曲線Γ的焦點(diǎn)為（0，-2）和（0，2），離心率為

2 3

3

，過(guò)雙曲線Γ的上支上一點(diǎn)P作雙曲線Γ的切線交兩條漸近線分別于點(diǎn)A，B（A，B在x軸上方）．
（1）求雙曲線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）探究

OA

•

OB

是否為定值，若是，求出該定值，若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）依題意可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），由c=2，

c

a

=

2 3

3

，b²=c²-a²，解出a，b，即可得到雙曲線方程；
（2）

OA

•

OB

是定值2．設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立雙曲線方程，消去y，由判別式為0，可得k²+b²=3，再由雙曲線的漸近線方程和直線AB的方程聯(lián)立，可得A，B的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可得到定值．

解答： 解：（1）依題意可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），
∵c=2，

c

a

=

2 3

3

，b²=c²-a²，∴a=

3

，b=1，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

3

-x²=1．
（2）

OA

•

OB

是定值2，理由如下：
設(shè)直線AB：y=kx+b（b＞0），
由

y=kx+b y2-3x2=3

得（k²-3）x²+2kbx+b²-3=0，
則k²-3≠0，△=（2kb）²-4（k²-3）（b²-3）=0，
解得k²+b²=3，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁＞0，y₂＞0，
由雙曲線漸近線方程：y²-3x²=0與y=kx+b聯(lián)立，
得 （k²-3）x²+2kbx+b²=0，
則k²-3≠0，△=（2kb）²-4（k²-3）b²＞0，
則x₁x₂=

b2

k2-3

=

3-k2

k2-3

=-1，y₁y₂=3|x₁x₂|=3，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-1+3=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用判別式和韋達(dá)定理，同時(shí)考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．