Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=a_n-2，且a₂=1．
（1）求{a_n}的通項a_n和前n項和S_n；
（2）設(shè)${{c}_{n}}=\frac{5-{{a}_{n}}}{2}$，b_n=${2}^{{c}_{n}}$，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=a_n-2，且a₂=1．可得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為-2，a₁=3．利用通項公式及其求和公式即可得出．
（2）${{c}_{n}}=\frac{5-{{a}_{n}}}{2}$=n，b_n=${2}^{{c}_{n}}$=2ⁿ，只要證明$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=非0常數(shù)即可．

解答 （1）解：數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=a_n-2，且a₂=1．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為-2，a₁=3．
∴a_n=3+（n-1）×（-2）=-2n+5．
S_n=$\frac{n（3-2n+5）}{2}$=-n²+4n．
（2）證明：${{c}_{n}}=\frac{5-{{a}_{n}}}{2}$=n，b_n=${2}^{{c}_{n}}$=2ⁿ，
$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{{2}^{n}}$=2．
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項公式及其求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．