Question

17．設f（x）=-$\frac{1}{x}$+ln$\frac{1+x}{1-x}$．
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）討論函數(shù)f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （1）直接由對數(shù)式的真數(shù)大于0，求解分式不等式得函數(shù)的定義域；
（2）直接根據(jù)f（-x）=-f（x）得到函數(shù)為奇函數(shù)，
（3）由函數(shù)單調性的定義證明函數(shù)在（0，1）上的單調性，然后結合奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性得函數(shù)在（-1，0）上的單調性

解答 解：（1）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{x≠0}\\{\frac{1+x}{1-x}＞0}\end{array}\right.$，解的-1＜x＜0，或0＜x＜1，
故函數(shù)的定義域為（-1，0）∪（0，1），
（2）f（-x）=$\frac{1}{x}$+ln$\frac{1-x}{1+x}$=$\frac{1}{x}$-ln$\frac{1+x}{1-x}$=-f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
（3）設x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，
設g（x）=ln$\frac{1+x}{1-x}$，
∴g（x₁）-g（x₂）=ln$\frac{1+{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$-ln$\frac{1+{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$=ln$\frac{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{（1+{x}_{2}）（1-{x}_{1}）}$，
∵0＜$\frac{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{（1+{x}_{2}）（1-{x}_{1}）}$＜1，
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，
∴g（x）在（0，1）上增函數(shù)，
∵y=-$\frac{1}{x}$在（0，1）上增函數(shù)，
∴f（x）在（0，1）上增函數(shù)，
由（2）可知，f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x）在（-1，0）為增函數(shù)．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)定義域的求法，訓練了函數(shù)單調性的判斷方法，考查了奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性，是中檔題．