Question

已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|x-2a|
（Ⅰ）當a=-

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時，求不等式f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）若當x∈[1，2]時，f（x）≤3恒成立，則實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）運用零點分區(qū)間的方法，討論當x＞

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時，當-1≤x≤

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時，當x＜-1時，去掉絕對值，分別解不等式，再求并集即可；
（Ⅱ）由題意，f（x）≤3可化為|x-2a|≤3-|2x-1|，由x∈[1，2]，得|x-2a|≤4-2x，即3x-4≤2a≤4-x 對x∈[1，2]恒成立，在x∈[1，2]時，求得3x-4 的最大值和4-x的最小值，即得a的值．

解答： 解：（Ⅰ）當a=-

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時，不等式f（x）＞2即為
|2x-1|+|x+1|＞2，
當x＞

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時，2x-1+x+1＞2，解得x＞

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，則有x＞

2

3

；
當-1≤x≤

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時，1-2x+x+1＞2解得x＜0，則有-1≤x＜0；
當x＜-1時，1-2x-x-1＞2解得x＜-

2

3

，則有x＜-1．
綜上可得，x＞

2

3

或x＜0．
則解集為{x|x＞

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3

或x＜0}；
（Ⅱ）∵f（x）=|2x-1|+|x-2a|，且f（x）≤3，
∴|x-2a|≤3-|2x-1|，
又∵x∈[1，2]，∴|x-2a|≤4-2x，
即 2x-4≤2a-x≤4-2x，
∴3x-4≤2a≤4-x對x∈[1，2]恒成立，
當1≤x≤2時，3x-4的最大值2，4-x的最小值為2，
∴2≤2a≤2，即有a=1．

點評：本題考查了含有絕對值不等式的解法問題，解題時應利用等價轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學思想，考查不等式的恒成立問題，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，是中檔題．