Question

已知橢圓E：

x2

8

+

y2

4

=1的左焦點為F，直線l：x=-4與x軸的交點是圓C的圓心，圓C恰好經過坐標原點O，設G是圓C上任意一點．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線FG與直線l交于點T，且G為線段FT的中點，求直線FG被圓C所截得的弦長；
（Ⅲ）在平面上是否存在一點P，使得

GF

GP

=

1

2

？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的標準方程,直線與圓的位置關系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題易知圓C的圓心為（-

a2

c

，0）而a=2

2

，b=2可求出圓心為（-4，0）又圓C恰好經過坐標原點O故半徑為4所以圓C的方程為（x+4）²+y²=16
（2）可利用直線FG與直線l聯立求出t點坐標再利用中點坐標公式求出G（-3，y_G）再代入圓C的方程求出y_G進而求出FG的方程為y=±

15

（x+2），然后利用圓心到直線的距離公式求出C（-4，0）到FG的距離d=

15

2

，再利用勾股定理即可求出弦長的一半進而求解．
（3）假設存在P（s，t），G（x₀，y₀）使得

GF

GP

=

1

2

成立，利用兩點間的距離公式化簡可得方程3（x₀²+y₀²）+（16+2s）x₀+2ty₀+16-s²-t²=0再結G（x₀，y₀）在圓C即x₀²+y₀²+8x₀=o可得（2s-8）x₀+2ty₀+16-s²-t²=0對所有的x₀，y₀成立，故2s-8=0，2t=0，16-s²-t²=0，存在p（4，0）滿足題意．

解答： 解：（1）∵橢圓E：

x2

8

+

y2

4

=1，∴a=2

2

，b=2，∴c=2
∵直線l：x=-4與x軸的交點是圓C的圓心，
∴圓心為（-4，0），
∵圓C恰好經過坐標原點O，故半徑為4，
∴圓C的方程為（x+4）²+y²=16．
（2）由題意知，得G（-3，y_G），代入（x+4）²+y²=16，得y=±

15

．
所以FG的斜率為k=y=±

15

，FG的方程為y=±

15

（x+2），
所以C（-4，0）到FG的距離d=

15

2

，
直線FG被圓C截得弦長為2

16-( 15 2 )2

=7
故直線FG被圓C截得弦長為7．
（3）設P（s，t），G（x₀，y₀），
則由

GF

GP

=

1

2

，得

(x0+2)2+y02

(x0+s)2+(y0-t)2

=

1

2

，
整理得3（x₀²+y₀²）+（16+2s）x₀+2ty₀+16-s²-t²=0①
又G（x₀，y₀）在圓C：（x+4）²+y²=16上，
所以x₀²+y₀²+8x₀=0，②
②代入①得（2s-8）x₀+2ty₀+16-s²-t²=0
又G（x₀，y₀）為圓C上任意一點，
2s-8=0，2t=0，16-s²-t²=0，
解得s=4，t=0．
所以在平面上存在一點p，其坐標為（4，0）．

點評：本題考查圓的方程的求法，考查弦長的求法，考查滿足條件的點的坐標的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．