Question

【題目】已知如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分別為PC的三等分點(diǎn)．

（1）證明：AF∥平面EBD；

（2）已知AP=AD=1，AB=2，求二面角E-BD-A的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接AC交于BD點(diǎn)O，連接EO，由E、F分別為PC的三等分點(diǎn)，得到AF∥EO，利用線面平行的判定定理，即可證得AF∥平面EBD．

（2）以A為原點(diǎn)，AD、AB、AP的分別為x，y，z軸方向建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．

（1）連接AC交于BD點(diǎn)O，連接EO．因?yàn)?/span>ABCD為矩形，

所以O為AC的中點(diǎn)．又E、F分別為PC的三等分點(diǎn)，

E為CF的中點(diǎn)，所以AF∥EO．

因?yàn)?/span>EO平面BDE，AF平面BDE，所以AF∥平面EBD．

（2）以A為原點(diǎn)，AD、AB、AP的分別為x，y，z軸方向建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示由條件可得D（1，0，0），B（0，2，0），C（1，2，0），P（0，0，1），

∵，∴，

，為平面ABD的一個法向量，

設(shè)面BDE的一個法向量為，則，即，

取y=1，則x=2，z=-2，所以，，

所以二面角D-AE-C的余弦值為．