Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωx-2sin²$\frac{ωx}{2}$（ω＞0）的最小正周期為3π．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{3π}{4}$，π]上的最大值和最小值；
（2）已知a，b，c分別為銳角三角形ABC中角A，B，C的對邊，且滿足b=2，f（A）=$\sqrt{3}$-1，$\sqrt{3}$a=2bsinA，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由$f（x）=\sqrt{3}sinωx-2×\frac{1-cosωx}{2}=2sin（ωx+\frac{π}{6}）-1$，正弦函數(shù)的周期公式T=$\frac{2π}{ω}=3π$，即可求得ω，由x取值范圍，根據(jù)正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)即可求得區(qū)間[-$\frac{3π}{4}$，π]上的最大值和最小值；
（2）由正弦定理可得：a=2RsinA，b=2RsinB，代入$\sqrt{3}$a=2bsinA，可得：$\sqrt{3}$sinA=2sinBsinA，即可求得B的值，f（A）=$\sqrt{3}$-1，即可求得A，由正弦定理即可求得a，由三角形的面積公式S=$\frac{1}{2}$absinC，即可求得△ABC的面積．

解答 解：（1）∵$f（x）=\sqrt{3}sinωx-2×\frac{1-cosωx}{2}=2sin（ωx+\frac{π}{6}）-1$，
∴$\frac{2π}{ω}=3π$，
∴$ω=\frac{2}{3}$，
∴$f（x）=2sin（\frac{2}{3}x+\frac{π}{6}）-1$，
∵$-\frac{3π}{4}≤x≤π$，
∴$-\frac{π}{3}≤\frac{2}{3}x+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（\frac{2}{3}x+\frac{π}{6}）≤1$，
∴當(dāng)$x=-\frac{3π}{4}$時(shí)，f（x）取最小值$-\sqrt{3}-1$；
當(dāng)$x=\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取最大值1；
（2）由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$=2R，
∴a=2RsinA，b=2RsinB，
∵$\sqrt{3}$a=2bsinA，
$\sqrt{3}$sinA=2sinBsinA，
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜B＜$\frac{π}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$，
由f（A）=$\sqrt{3}$-1，即$f（x）=2sin（\frac{2}{3}x+\frac{π}{6}）-1$=$\sqrt{3}$-1，
解得：A=$\frac{π}{4}$
由正弦定理得：$a=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×\frac{{2\sqrt{6}}}{3}×2×\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}=\frac{{3+\sqrt{3}}}{3}$．
△ABC的面積$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，考查三角恒等變換，正弦定理，三角形的面積公式，特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．