Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=λa_n+2ⁿ（n∈N^*），其中λ為常數(shù)．
（1）若a₂=0，求a₃的值；
（2）是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，若存在，求數(shù)列{a_n}的通項公式，若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)λ=1，b_n=

4n-7

an

，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求滿足S_n＞0的最小自然數(shù)n的值．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：計算題,存在型,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）運用直接法，求出λ，代入即可得到a₃的值；
（2）a₁=2，a₂=2λ+2，a₃=λa₂+4=2λ²+2λ+4．若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，得λ²-λ+1=0，由△=1²-4=-3＜0，知方程無實根，故不存在實數(shù)λ；
（3）運用累加法，求出數(shù)列{a_n}的通項，再由錯位相減法，即可得到數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，令S_n＞0，即可得到最小的n．

解答： 解：（1）a₁=2，a_n+1=λa_n+2ⁿ（n∈N^*），
由于a₂=0，則2λ+2=0，則λ=-1，
a₃=-a₂+4=4；
（2）a₁=2，a₂=2λ+2，a₃=λa₂+4=2λ²+2λ+4．
若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，則a₁+a₃=2a₂，即2+（2λ²+2λ+4）=2（2λ+2），
得λ²-λ+1=0，由△=1²-4=-3＜0知方程無實根，
故不存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（3）設(shè)λ=1，則a_n+1=a_n+2ⁿ（n∈N^*），則a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）
=2+2+…+2^n-1=2ⁿ，
則b_n=

4n-7

an

=

4n-7

2n

，
則S_n=（-3）•

1

2

+1•

1

4

+…+

4n-7

2n

，①

1

2

S_n=（-3）•

1

4

+1•

1

8

+…+（4n-7）•（

1

2

）ⁿ⁺¹，②
①-②得，

1

2

S_n=-

3

2

+

4•(1- 1 2n-1 )

1- 1 2

×

1

4

-（4n-7）•（

1

2

）ⁿ⁺¹，
即有S_n=1-

4n+1

2n

，
令S_n＞0，即有4n+1＜2ⁿ，
解得，n=1，2，3，4不成立，n≥5均成立，
故滿足S_n＞0的最小自然數(shù)n的值為5．

點評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的通項和求和公式，以及數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查運算能力，屬于中檔題．