Question

設(shè)a＞0，兩個函數(shù)f（x）=e^ax，g（x）=blnx的圖象關(guān)于直線y=x對稱．
（1）求實數(shù)a，b滿足的關(guān)系式；
（2）當(dāng)a=1時，在（

1

2

，+∞）上解不等式f（1-x）+g（x）＜x²．
（3）試指出函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在（0，

1

e

]的零點個數(shù)，并給出證明．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的對稱性即可求實數(shù)a，b滿足的關(guān)系式；
（2）當(dāng)a=1時，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可解不等式f（1-x）+g（x）＜x²．
（3）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，e^ax）是函數(shù)f（x）=e^ax圖象上任一點，則它關(guān)于直線y=x對稱的點P′（e^ax，x）在函數(shù)g（x）=blnx的圖象上，
則x=blne^ax=abx，
∴ab=1．
（2）當(dāng)a=1時，設(shè)r（x）=f（1-x）+g（x）-x²=e^1-x+lnx-x²，
則r′（x）=-e^1-x+

1

x

-2x，
當(dāng)x∈（

1

2

，1）時，

1

x

-2x＜2-1=1，-e^1-x＜-1，則r′（x）＜0，
當(dāng)x∈[1，+∞）時，

1

x

-2x＜1-2=-1，-e^1-x＜0，則r′（x）＜0，
∴r（x）在（

1

2

，+∞）上是減函數(shù)．
又r（1）=0，
則不等式f（1-x）+g（x）＜x²解集是（1，+∞）．
（3）當(dāng)a＞0時，若函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）有且只有一個零點，
即兩個函數(shù)的圖象有且只有一個交點，
∵兩個函數(shù)關(guān)于直線y=x對稱，
∴兩個函數(shù)圖象的交點就是函數(shù)f（x）=e^ax，的圖象與直線y=x的切點．
設(shè)切點為A（x₀，eax0），x₀=eax0，f′（x）=ae^ax，
∴aeax0=1，ax₀=1，
則x₀=eax0=e，
∴當(dāng)a=

1

x0

=

1

e

時，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）有且只有一個零點x=e；
當(dāng)a∈(0，

1

e

)時，h(x)=eax-

lnx

a

，h′(x)=eax•a-

1

ax

，h″(x)=eax•a2+

1

ax2

＞0，
∴h'（x）在（0，+∞）上單調(diào)增函數(shù)，
又x→0，h'（x）→-∞；，x→+∞，h'（x）→+∞，
設(shè)h'（x₀）=0，則在（0，x₀]上單調(diào)減，在[x₀，+∞）上單調(diào)增．
∵h(

1

e

)=e

a

e

+

1

a

＞0，
∵0＜a＜

1

e

∴-

1

a

＜-e，
∴h(e)=eae-

1

a

＜e-e=0，
x→+∞，h（x）→+∞，
∴h（x）在（0，+∞）上有兩零點
綜上，a∈(0，

1

e

)，h（x）在（0，+∞）上有兩零點；
a=

1

e

，h（x）在（0，+∞）上一個零點．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用條件構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．