【題目】已知正四棱錐的底面邊長和高都為2.現(xiàn)從該棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，設(shè)隨機(jī)變量表示所得三角形的面積.

（1）求概率的值；

（2）求隨機(jī)變量的概率分布及其數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由題意，分別得出“從5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形”和“”所包含的基本事件個(gè)數(shù)，基本事件個(gè)數(shù)比即為所求概率；

（2）先由題意得到的可能取值，求出對應(yīng)的概率，進(jìn)而可得到分布列，求出期望.

解：（1）從5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，

共有種取法.其中的三角形如，

這類三角形共有個(gè).

因此.

（2）由題意，的可能取值為，2，.

其中的三角形是側(cè)面，這類三角形共有4個(gè)；

其中的三角形有兩個(gè)，和.

因此，.

所以隨機(jī)變量的概率分布列為：

2

所求數(shù)學(xué)期望

.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了促進(jìn)我國人口均衡發(fā)展，從2016年1月1日起，全國統(tǒng)一實(shí)施全面放開二孩政策，這也是為了重建大國人口觀，重新認(rèn)識人口價(jià)值、人口規(guī)律、人口問題，某研究機(jī)構(gòu)為了了解人們對全面放開生育二孩政策的態(tài)度，隨機(jī)調(diào)查了200人，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下面的不完整的2×2列聯(lián)表所示（單位：人）：

支持生育二孩

不支持生育二孩

合計(jì)

男性

30

女性

60

100

合計(jì)

70

（1）完成2×2列聯(lián)表，并求是否有90%的把握認(rèn)為是否“支持生育二孩”與性別有關(guān)？

（2）現(xiàn)從樣本中的女性中利用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機(jī)選出2人進(jìn)行深層次的交流，求選出的2人中至少有1人“支持生育二孩”的概率.

參考公式：，其中.

參考數(shù)據(jù)：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，直線AG，BG相交于點(diǎn)G，且它們的斜率之積為.記點(diǎn)G的軌跡為曲線C.

（1）若射線與曲線C交于點(diǎn)D，且E為曲線C的最高點(diǎn)，證明：.

（2）直線與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，直線AM，AN與y軸分別交于P，Q兩點(diǎn).試問在x軸上是否存在定點(diǎn)T，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)T？若存在，求出T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在某校冬季長跑活動(dòng)中，學(xué)校要給獲得一、二等獎(jiǎng)的學(xué)生購買獎(jiǎng)品，要求花費(fèi)總額不得超過元.已知一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)分別為元、元，一等獎(jiǎng)人數(shù)與二等獎(jiǎng)人數(shù)的比值不得高于，且獲得一等獎(jiǎng)的人數(shù)不能少于人，那么下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）

A.最多可以購買份一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品

B.最多可以購買份二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品

C.購買獎(jiǎng)品至少要花費(fèi)元

D.共有種不同的購買獎(jiǎng)品方案

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為迎接“五一國際勞動(dòng)節(jié)”，某商場規(guī)定購買超過6000元商品的顧客可以參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)現(xiàn)有甲品牌和乙品牌的掃地機(jī)器人作為獎(jiǎng)品，從這兩種品牌的掃地機(jī)器人中各隨機(jī)抽取6臺(tái)檢測它們充滿電后的工作時(shí)長相關(guān)數(shù)據(jù)見下表（工作時(shí)長單位：分）

機(jī)器序號

1

2

3

4

5

6

甲品牌工作時(shí)長/分

220

180

210

220

200

230

乙品牌工作時(shí)長/分

200

190

240

230

220

210

（1）根據(jù)所提供的數(shù)據(jù)，計(jì)算抽取的甲品牌的掃地機(jī)器人充滿電后工作時(shí)長的平均數(shù)與方差；

（2）從乙品牌被抽取的6臺(tái)掃地機(jī)器人中隨機(jī)抽出3臺(tái)掃地機(jī)器人，記抽出的掃地機(jī)器人充滿電后工作時(shí)長不低于220分鐘的臺(tái)數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在某外國語學(xué)校舉行的(高中生數(shù)學(xué)建模大賽)中,參與大賽的女生與男生人數(shù)之比為,且成績分布在,分?jǐn)?shù)在以上(含)的同學(xué)獲獎(jiǎng)．按女生、男生用分層抽樣的方法抽取人的成績作為樣本,得到成績的頻率分布直方圖如圖所示．

(Ⅰ)求的值,并計(jì)算所抽取樣本的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(Ⅱ)填寫下面的列聯(lián)表,并判斷在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下能否認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與女生、男生有關(guān)”．

女生

男生

總計(jì)

獲獎(jiǎng)

不獲獎(jiǎng)

總計(jì)

附表及公式：

其中,．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了豐富學(xué)生的課外文化生活，某中學(xué)積極探索開展課外文體活動(dòng)的新途徑及新形式，取得了良好的效果.為了調(diào)查學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與參加文體活動(dòng)是否有關(guān)，學(xué)校對200名學(xué)生做了問卷調(diào)查，列聯(lián)表如下：

參加文體活動(dòng)

不參加文體活動(dòng)

合計(jì)

學(xué)習(xí)積極性高

80

學(xué)習(xí)積極性不高

60

合計(jì)

200

已知在全部200人中隨機(jī)抽取1人，抽到學(xué)習(xí)積極性不高的學(xué)生的概率為.

（1）請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；

（2）是否有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)習(xí)積極性高與參加文體活動(dòng)有關(guān)？請說明你的理由；

（3）若從不參加文體活動(dòng)的同學(xué)中按照分層抽樣的方法選取5人，再從所選出的5人中隨機(jī)選取2人，求至少有1人學(xué)習(xí)積極性不高的概率.

附：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，四邊形是邊長為2的菱形，

（1）證明：平面平面；

（2）當(dāng)平面與平面所成銳二面角的余弦值，求直線與平面所成角正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn).

（1）若過點(diǎn)，且，求的斜率；

（2）若，且的斜率為，當(dāng)時(shí)，求在軸上的截距的取值范圍（用表示），并證明的平分線始終與軸平行.

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