Question

11．某3D打印機(jī)，其打出的產(chǎn)品質(zhì)量按照百分制衡量，若得分不低于85分則為合格品，低于85分則為不合格品，商家用該打印機(jī)隨機(jī)打印了15件產(chǎn)品，得分情況如圖；
（1）寫出該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)，并估計(jì)該打印機(jī)打出的產(chǎn)品為合格品的概率；
（2）若打印一件合格品可獲利54元，打印一件不合格品則虧損18元，記X為打印3件產(chǎn)品商家所獲得的利潤，在（1）的前提下，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）利用莖葉圖直接求解該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為87，眾數(shù)為92，打印的15件產(chǎn)品中，合格品有10件，即可求解概率．
（2）隨機(jī)變量X可以取-54，18，90，162，求出概率，列出分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（1）該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為87，眾數(shù)為92，打印的15件產(chǎn)品中，合格品有10件，由此可估計(jì)該打印機(jī)打出的產(chǎn)品為合格品的
概率為$\frac{2}{3}$．…（5分）
（2）隨機(jī)變量X可以取-54，18，90，162，
P（X=-54）=C₃⁰×（1-$\frac{2}{3}$）³=$\frac{1}{27}$，P（X=18）=C₃¹×$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{2}{3}$）²=$\frac{2}{9}$，P（X=90）=C₃²×（$\frac{2}{3}$）²×（1-$\frac{2}{3}$）¹=$\frac{4}{9}$，P（X=162）=C₃³×（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{8}{27}$，
X的分布列為

X	-54	18	90	162
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{8}{27}$

∴隨機(jī)變量X的期望E（X）=（-54）×$\frac{1}{27}$+18×$\frac{2}{9}$+90×$\frac{4}{9}$+162×$\frac{8}{27}$=90．…（12分）．

點(diǎn)評 本題考查離散性隨機(jī)變量的分布列，以及期望的求法，莖葉圖的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．