Question

3．某校在高二年級(jí)實(shí)行選課走班教學(xué)，學(xué)校為學(xué)生提供了多種課程，其中數(shù)學(xué)科提供5種不同層次的課程，分別稱(chēng)為數(shù)學(xué)1、數(shù)學(xué)2、數(shù)學(xué)3、數(shù)學(xué)4、數(shù)學(xué)5，每個(gè)學(xué)生只能從這5種數(shù)學(xué)課程中選擇一種學(xué)習(xí)，該校高二年級(jí)1800名學(xué)生的數(shù)學(xué)選課人數(shù)統(tǒng)計(jì)如表：

課程	數(shù)學(xué)1	數(shù)學(xué)2	數(shù)學(xué)3	數(shù)學(xué)4	數(shù)學(xué)5	合計(jì)
選課人數(shù)	180	540	540	360	180	1800

為了了解數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)生選課情況之間的關(guān)系，用分層抽樣的方法從這1800名學(xué)生中抽取了10人進(jìn)行分析．
（1）從選出的10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求這3人中至少有2人選擇數(shù)學(xué)2的概率；
（2）從選出的10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記這3人中選擇數(shù)學(xué)2的人數(shù)為X，選擇數(shù)學(xué)1的人數(shù)為Y，設(shè)隨機(jī)變量ξ=X-Y，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）從選出的10名學(xué)生中選修數(shù)學(xué)1的人應(yīng)為10×$\frac{180}{1800}$=1人，同理可得選修數(shù)學(xué)2的人應(yīng)為3人，選修數(shù)學(xué)3的人應(yīng)為3人，選修數(shù)學(xué)4的人應(yīng)為1人，選修數(shù)學(xué)1的人應(yīng)為1人．從選出的10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人共有${∁}_{10}^{3}$=120種選法，選出的這3人中至少有2人選擇數(shù)學(xué)2的有${∁}_{3}^{2}•{∁}_{7}^{1}$+${∁}_{3}^{3}$=22種，即可得出這3人中至少有2人選擇數(shù)學(xué)2的概率P．
（2）X的可能取值為0，1，2，3．Y的可能取值為0，1．ξ的可能取值為-1，0，1，2，3．P（ξ=-1）=P（X=0，Y=1）=$\frac{{∁}_{1}^{1}•{∁}_{6}^{2}}{{∁}_{10}^{3}}$，P（ξ=0）=P（X=0，Y=0）+P（X=1，Y=1）=$\frac{{∁}_{6}^{3}+{∁}_{3}^{1}{∁}_{1}^{1}{∁}_{6}^{1}}{{∁}_{10}^{3}}$．P（ξ=1）=P（X=1，Y=0）+P（X=2，Y=1）=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{6}^{2}+{∁}_{3}^{2}{∁}_{1}^{1}}{{∁}_{10}^{3}}$．P（ξ=2）=P（X=2，Y=0）=$\frac{{∁}_{3}^{2}{∁}_{6}^{1}}{{∁}_{10}^{3}}$．P（ξ=3）=P（X=3，Y=0）=$\frac{{∁}_{3}^{3}}{{∁}_{10}^{3}}$．即可得出ξ的分布列及其Eξ．

解答 解：（1）從選出的10名學(xué)生中選修數(shù)學(xué)1的人應(yīng)為10×$\frac{180}{1800}$=1人，選修數(shù)學(xué)2的人應(yīng)為10×$\frac{540}{1800}$=3人，選修數(shù)學(xué)3的人應(yīng)為10×$\frac{540}{1800}$=3人，選修數(shù)學(xué)4的人應(yīng)為10×$\frac{360}{1800}$=1人，選修數(shù)學(xué)1的人應(yīng)為10×$\frac{180}{1800}$=1人．
從選出的10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人共有${∁}_{10}^{3}$=120種選法，選出的這3人中至少有2人選擇數(shù)學(xué)2的有${∁}_{3}^{2}•{∁}_{7}^{1}$+${∁}_{3}^{3}$=22種
，∴這3人中至少有2人選擇數(shù)學(xué)2的概率P=$\frac{22}{120}$=$\frac{11}{60}$．
（2）X的可能取值為0，1，2，3．Y的可能取值為0，1．ξ的可能取值為-1，0，1，2，3．
P（ξ=-1）=P（X=0，Y=1）=$\frac{{∁}_{1}^{1}•{∁}_{6}^{2}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{8}$．
P（ξ=0）=P（X=0，Y=0）+P（X=1，Y=1）=$\frac{{∁}_{6}^{3}+{∁}_{3}^{1}{∁}_{1}^{1}{∁}_{6}^{1}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{19}{60}$．
P（ξ=1）=P（X=1，Y=0）+P（X=2，Y=1）=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{6}^{2}+{∁}_{3}^{2}{∁}_{1}^{1}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{2}{5}$．
P（ξ=2）=P（X=2，Y=0）=$\frac{{∁}_{3}^{2}{∁}_{6}^{1}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{20}$．
P（ξ=3）=P（X=3，Y=0）=$\frac{{∁}_{3}^{3}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$．ξ的分布列為：

ξ	-1	0	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{19}{60}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{120}$

∴Eξ=-1×$\frac{1}{8}$+0×$\frac{19}{60}$+1×$\frac{2}{5}$+2×$\frac{3}{20}$+3×$\frac{1}{120}$=$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概率計(jì)算公式、相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．