在長方體ABCDA1B1C1D1中,,點E是棱AB上一點.且

(1)證明:;
(2)若二面角D1ECD的大小為,求的值.

(1)詳見解析;(2)-1.

解析試題分析:(1)根據(jù)題意顯然以D為原點,DAx軸,DCy軸,DD1z軸建立空間直角坐標系.此時不妨設(shè)AD =AA1=1,AB=2,則本表示出圖中各點坐標,這里主要是要運用向量的知識表示出點E的坐標,這樣就可表示出的坐標,利用向量垂直的充要條件:它們的數(shù)量積等于0,問題即可得證;(2)運用求平面法向量的知識分別求出:平面DEC的法向量為n1=(0,0,1);平面D1CE的法向量為,利用向量夾角知識可得: ,可解得±-1.利用E是棱AB上的一點,所以λ>0,故所求的λ值為-1.
試題解析:(1)以D為原點,DAx軸,DCy軸,
DD1z軸建立空間直角坐標系.
不妨設(shè)AD =AA1=1,AB=2,
D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),
C(0,2,0),A1(1,0,1),B1(1,2,1),C1(0,2,1),D1(0,0,1).
因為λ,所以,于是(-1,0,-1).
所以
D1EA1D.                                                          5分
(2)因為D1D⊥平面ABCD,所以平面DEC的法向量為n1=(0,0,1).
(0,-2,1).
設(shè)平面D1CE的法向量為n2=(x,y,z),
n2·,n2·,
所以向量n2的一個解為
因為二面角D1ECD的大小為,則
解得±-1.
又因E是棱AB上的一點,所以λ>0,故所求的λ值為-1.               10分
考點:1.向量的數(shù)量積的應(yīng)用;2.平面的法向量;3.空位位置關(guān)系

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在四棱錐中,平面,,且,點上.
(1)求證:;
(2)若二面角的大小為,求與平面所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在四棱錐中,底面為矩形, 為等邊三角形,,點中點,平面平面.

(1)求異面直線所成角的余弦值;
(2)求二面角的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,已知四棱錐的底面的菱形,,點邊的中點,交于點,

(1)求證:;
(2)若的大;
(3)在(2)的條件下,求異面直線所成角的余弦值。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知四棱錐P-ABCD中,PB⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,PB=BC=CD=AB.Q是PC上的一點,且PA∥平面QBD.

⑴確定Q的位置;
⑵求二面角Q-BD-C的平面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,幾何體中,為邊長為的正方形,為直角梯形,,,,,

(1)求異面直線所成角的大;
(2)求幾何體的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖1,在Rt中,, D、E分別是上的點,且,將沿折起到的位置,使,如圖2.

(1)求證:平面平面;
(2)若,求與平面所成角的余弦值;
(3)當點在何處時,的長度最小,并求出最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,直角梯形中,,點分別是的中點,點上,沿將梯形翻折,使平面平面.

(1)當最小時,求證:;
(2)當時,求二面角平面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,點D是BC的中點.

(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值;
(2)求平面ADC1與平面ABA1夾角的正弦值.

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