已知四棱錐P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°，PB=BC=CD=AB.Q是PC上的一點(diǎn)，且PA∥平面QBD.

⑴確定Q的位置;
⑵求二面角Q-BD-C的平面角的余弦值.

⑴當(dāng)時(shí)，PA∥平面QBD；⑵二面角Q-BD-C的平面角的余弦值.

解析試題分析：⑴要使得PA∥平面QBD，必須使得平面QBD內(nèi)有一條直線與PA平行，為了找這條直線，先作過PA與平面QBD相交的平面，只要交線與PA平行即可.⑵由于BC,BA,BP兩兩垂直，故可以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC,BA,BP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量進(jìn)行計(jì)算.
試題解析：⑴當(dāng)時(shí)，PA∥平面QBD，證明如下：
連結(jié)AC交BD于點(diǎn)M，
∵2CD=AB,CD∥AB,∴AM=2MC
過PA的平面PAC平面QBD=MQ,
∵PA∥平面QBD,∴AP∥MQ,∴PQ=2QC.       4分
⑵設(shè)BC=1，如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC,BA,BP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系O- xyz(其中點(diǎn)B與點(diǎn)O重合)，則C(1,0,0)，A(0,2,0)，D(1,1,0)，P(0,0,1).
∵PQ=2QC，∴
設(shè)平而QBD的一個(gè)法向量為，
則
取.

又平面CBD的一個(gè)法向量為
設(shè)二面角Q-BD-C的平面角為，又為銳角
∴
∴二面角Q-BD-C的平面角的余弦值。      12分
考點(diǎn)：1、空間直線與平面的位置關(guān)系；2、二面角；3、空間向量.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖1，直角梯形中，，分別為邊和上的點(diǎn)，且，．將四邊形沿折起成如圖2的位置，使．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成銳角的余弦值.

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（2013•天津）如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，
AA1=AB=2，E為棱AA1的中點(diǎn)．
（1）證明B1C1⊥CE；
（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．
（3）設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，∥，且，，為的中點(diǎn)．

（1）設(shè)與平面所成的角為，二面角的大小為，求證：；
（2）在線段上是否存在一點(diǎn)（與兩點(diǎn)不重合），使得∥平面? 若存在，求的長；若不存在，請說明理由．

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在長方體ABCD—A1B1C1D1中，，點(diǎn)E是棱AB上一點(diǎn)．且．

（1）證明：；
（2）若二面角D1—EC—D的大小為，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如下圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面都
是矩形，是的中點(diǎn)，，.
（1）求證：
（2）求證：平面；
（3）若平面與平面所成的銳二面角的大小為，求線段的長度.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,設(shè)是一個(gè)高為的四棱錐,底面是邊長為的正方形,頂點(diǎn)在底面上的射影是正方形的中心．是棱的中點(diǎn)．試求直線與平面所成角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折成一個(gè)直二面角，且EA⊥平面ABD，AE=.

（1）若，求證：AB∥平面CDE；
（2）求實(shí)數(shù)的值，使得二面角AECD的大小為60°．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D為AB的中點(diǎn),AC=BC=BB1.

求證:(1)BC1⊥AB1.
(2)BC1∥平面CA1D.

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