已知四棱錐P-ABCD中,PB⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,PB=BC=CD=AB.Q是PC上的一點,且PA∥平面QBD.

⑴確定Q的位置;
⑵求二面角Q-BD-C的平面角的余弦值.

⑴當(dāng)時,PA∥平面QBD;⑵二面角Q-BD-C的平面角的余弦值.

解析試題分析:⑴要使得PA∥平面QBD,必須使得平面QBD內(nèi)有一條直線與PA平行,為了找這條直線,先作過PA與平面QBD相交的平面,只要交線與PA平行即可.⑵由于BC,BA,BP兩兩垂直,故可以B為坐標原點,以BC,BA,BP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,然后利用空間向量進行計算.
試題解析:⑴當(dāng)時,PA∥平面QBD,證明如下:
連結(jié)AC交BD于點M,
∵2CD=AB,CD∥AB,∴AM=2MC
過PA的平面PAC平面QBD=MQ,
∵PA∥平面QBD,∴AP∥MQ,∴PQ=2QC.       4分
⑵設(shè)BC=1,如圖,以B為坐標原點,以BC,BA,BP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系O- xyz(其中點B與點O重合),則C(1,0,0),A(0,2,0),D(1,1,0),P(0,0,1).
∵PQ=2QC,∴
設(shè)平而QBD的一個法向量為,

.

又平面CBD的一個法向量為
設(shè)二面角Q-BD-C的平面角為,又為銳角

∴二面角Q-BD-C的平面角的余弦值。      12分
考點:1、空間直線與平面的位置關(guān)系;2、二面角;3、空間向量.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖1,直角梯形中,,分別為邊上的點,且,.將四邊形沿折起成如圖2的位置,使
(1)求證:平面;
(2)求平面與平面所成銳角的余弦值.

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(2013•天津)如圖,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,
AA1=AB=2,E為棱AA1的中點.
(1)證明B1C1⊥CE;
(2)求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值.
(3)設(shè)點M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為,求線段AM的長.

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如圖,在四棱錐中,平面,底面是直角梯形,,,且,,的中點.

(1)設(shè)與平面所成的角為,二面角的大小為,求證:;
(2)在線段上是否存在一點(與兩點不重合),使得∥平面? 若存在,求的長;若不存在,請說明理由.

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在長方體ABCDA1B1C1D1中,,點E是棱AB上一點.且

(1)證明:;
(2)若二面角D1ECD的大小為,求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如下圖,在四棱柱中,底面和側(cè)面
是矩形,的中點,.
(1)求證:
(2)求證:平面;
(3)若平面與平面所成的銳二面角的大小為,求線段的長度.

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如圖,設(shè)是一個高為的四棱錐,底面是邊長為的正方形,頂點在底面上的射影是正方形的中心.是棱的中點.試求直線與平面所成角的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折成一個直二面角,且EA⊥平面ABD,AE=.

(1)若,求證:AB∥平面CDE;
(2)求實數(shù)的值,使得二面角AECD的大小為60°.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D為AB的中點,AC=BC=BB1.

求證:(1)BC1⊥AB1.
(2)BC1∥平面CA1D.

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