Question

（本小題滿分13分）圖2中的實(shí)線圍成的部分是長(zhǎng)方體(圖1)的平面展開圖，其中四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形．若向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點(diǎn)，它落在長(zhǎng)方體的平面展開圖內(nèi)的概率是 .

（1）從正方形ABCD的四條邊及兩條對(duì)角線共6條線段中任取2條線段（每條線段被取到的可能性相等），求其中一條線段長(zhǎng)度是另一條線段長(zhǎng)度的倍的概率；

（2）求此長(zhǎng)方體的體積.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）本題屬于古典概型中的等可能性事件概率，依題意，用列舉法可列出6條線段中任取2條線段的15種結(jié)果，而其中一條線段長(zhǎng)度是另一條線段長(zhǎng)度的倍，則說(shuō)明一條線段取自正方形的邊，另一線段取自正方形的對(duì)角線，可列舉出共有8種結(jié)果，故概率為；（2）依題意設(shè)長(zhǎng)方體的高為，則虛線框的面積為，而長(zhǎng)方體的平面展開圖的面積即為長(zhǎng)方體的表面積為，由幾何概型的概率公式知，從而，故長(zhǎng)方體的體積是.

試題解析：（1）記事件：從6條線段中任取2條線段，其中一條線段長(zhǎng)度是另一條線段長(zhǎng)度的倍.從6條線段中任取2條線段，有15種等可能的取法：和， 和，和， 和，和，和，和，和，和，和，和， 和，和， 和，和 3分

其中事件包含8種結(jié)果：和，和，和，和，和，和，和， 和 4分

，因此，所求事件的概率為 6分

（2）記事件：向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點(diǎn)，它落在長(zhǎng)方體的平面展開圖內(nèi)．

設(shè)長(zhǎng)方體的高為，則圖2中虛線圍成的矩形長(zhǎng)為，寬為，面積為 9分

長(zhǎng)方體的平面展開圖的面積為； 10分

由幾何概型的概率公式知，得， 12分

所以長(zhǎng)方體的體積是. 13分

考點(diǎn):兩種概率類型的概率計(jì)算