在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為2
3
的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)．
（1）證明：AC⊥SB；
（2）求三棱錐B-CMN的體積．
（1）證明：取AC中點(diǎn)D，連接SD，DB．
因?yàn)镾A=SC，AB=BC，所以AC⊥SD且AC⊥BD，
因?yàn)镾D∩BD=D，所以AC⊥平面SDB．
又SB?平面SDB，所以AC⊥SB；
（2）因?yàn)锳C⊥平面SDB，AC?平面ABC，所以平面SDC⊥平面ABC．
過N作NE⊥BD于E，則NE⊥平面ABC，
因?yàn)槠矫鍿AC⊥平面ABC，SD⊥AC，所以SD⊥平面ABC．
又因?yàn)镹E⊥平面ABC，所以NE∥SD．
由于SN=NB，所以NE=
1
2
SD=
1
2

所以S△CMB=
1
2
CM•BM=
3
3
2

所以VB-CMN=VN-CMB=
1
3
S△CMB•NE=
1
3
×
3
3
2
×
1
2
=
3
4

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，垂足為點(diǎn)A，PA=AB=2，點(diǎn)M，N分別是PD，PB的中點(diǎn)．
（I）求證：PB∥平面ACM；
（II）求證：MN⊥平面PAC；
（III）求四面體A-MBC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，平面EAD⊥平面ABCD，△ADE是等邊三角形，ABCD是矩形，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，G是AD的中點(diǎn)，EC與平面ABCD成30°角．
（1）求證：EG⊥平面ABCD；
（2）若AD=2，求二面角E-FC-G的度數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，PB⊥底面ABCD．底面ABCD為直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=AD=PB，BC=2AD．點(diǎn)E在棱PA上，且PE=2EA．
（I）求證：CD⊥平面PBD；
（II）求二面角A-BE-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)α、β為兩個(gè)不同的平面，直線l?α，則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的（　　）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=2，O為AC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD，PO=2，M為PD的中點(diǎn)，
（1）證明：AD⊥平面PAC；
（2）求直線AM與平面ABCD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，AO⊥平面α，點(diǎn)O為垂足，BC?平面α，BC⊥OB，若∠ABO=
π
4
，∠COB=
π
6
，則cos∠BAC=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

作等腰直角三角形ABC的斜邊AB的中線CD，沿CD將△ABC折疊，使平面ACD⊥平面BCD，則折疊后AC與BC的夾角∠ACB的度數(shù)為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在圓錐PO中，已知PO=
2
，⊙O的直徑AB=2，C是
AB
的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：平面POD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角B-PA-C的余弦值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案